Zadanie nr 6378166

Oblicz pochodną funkcji f(x) = arcctg x .

Rozwiązanie

Sposób I

Różniczkujemy stronami równość

ctg(a rcctg x) = x

korzystając ze wzoru na pochodną tangensa i ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.

′ ctg(arcctgx ) = x / () 1 ′ − ---2---------- ⋅(arcctgx ) = 1 sin (a rcctg x) (a rcctg x)′ = − sin2(arcctg x).

Aby uprościć prawą stronę zauważmy, że jeżeli y = arcctg x to ctg y = x oraz

cosy- 2 siny = x /() cos2y- 2 sin2y = x 1−--sin-2y- 2 sin 2y = x 2 2 2 1− sin y = x sin y 2 2 1 = (1+ x )sin y 2 --1---- sin y = 1+ x2.

Zatem

′ 2 2 ---1--- (arcctg x) = − sin (arcctg x) = − sin y = − 1 + x2 .

Sposób II

Korzystamy ze wzoru

− 1 ′ 1 (f (y 0)) = f′(x-), gdzie y 0 = f(x0) 0

na pochodną funkcji odwrotnej.

Jeżeli oznaczmy g(x) = ctg x to −1 x0 = g (y0) = a rcctg y0 i na mocy powyższego wzoru mamy

(arcctgy )′ = (g− 1(y )) = ---1---= − sin2x . 0 0 g ′(x0) 0

Tak jak w pierwszym sposobie zauważamy, że

sin 2x = ---1---. 0 1 + y 2 0

Zatem

′ --1---- (arcctg y0) = − 1+ y2. 0

Zamieniając literkę z y 0 na otrzymujemy ′ --1- (a rcctg x) = − 1+x2 .

Na koniec uwaga. Rachunki w każdym ze sposobów byłyby odrobinę prostsze, gdybyśmy wykorzystali inny wzór na pochodną tangensa:

( ) ′ cos-x ′ −--sin-2x-−-cos2-x sin2-x cos2-x 2 (ctgx) = sinx = sin2x = − sin2 x − sin2x = − 1 − ctg x .

Odpowiedź: f′(x) = − 1+1x-2