/Konkursy/Zadania testowe/Kombinatoryka/Liczenie konfiguracji na płaszczyźnie

Zadanie nr 6314156

Do narysowania przedstawionej na rysunku tablicy zawierającej 12 komórek użyto 5 prostych poziomych i 4 pionowych. Jeżeli użyjemy 6 prostych poziomych i 3 pionowych, to otrzymamy tablice o 10 komórkach. Jaką największą liczbę komórek można otrzymać, używając do narysowania tablicy 15 prostych?

A) 56 B) 27 C) 32 D) 40 E) 42

Rozwiązanie

Zastanówmy się ile będzie komórek, jeżeli poprowadzimy prostych poziomych i pionowych? Po chwili zastanowienia można wymyślić, że będzie ich (a − 1)(b − 1) (bo wyznaczają one a − 1 wierszy i b− 1 kolumn w tabeli). Musimy zatem znaleźć największą wartość wyrażenia (a− 1 )(b− 1 ) , jeżeli wiemy, że a+ b = 15 . Jeżeli wiemy, że iloczyn liczb, których suma jest ustalona, jest największy gdy liczby te są równe (co wynika ze wzoru 4ab = (a+ b)2 − (a− b )2 ), to sprawa jest łatwa. , nie mogą być wprawdzie równe, ale najbliższa tej sytuacji jest konﬁguracja a = 8 , b = 7 lub odwrotnie. Dostajemy wtedy 42 komórki.