Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8210947

Kolejne wyrazy ciągu 1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9... wpisujemy spiralnie w kratki nieskończonego diagramu, tak jak na rysunku obok. Jaką liczbę wpiszemy w setnej kratce ponad kratką zacieniowaną?


PIC


A) 8 B) 5 C) 6 D) 1 E) 3

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zanim ustalimy jaka liczba będzie wpisana w opisanym miejscu, spróbujmy ustalić, który to będzie wyraz ciągu. Jeżeli wyobrazimy sobie jaki będzie obrazek, gdy ostatnim napisanym wyrazem będzie ten w setnej kratce ponad zacieniowaną, to w sumie będzie napisanych

(2 ⋅100 + 1)2 − 100

(bo brakuje 100 liczb do pełnego kwadratu o boku 2⋅ 100+ 1 ). Tak naprawdę intersuje nas jaka jest reszta z dzielenia tej liczby przez 9 (bo wyrazy ciągu powtarzają się co 9). Możemy więc zastapić 100 przez resztę z dzielenia przez 9, czyli przez 1.

(2⋅1 00+ 1)2 − 100 ≡ (2 + 1)2 − 1 ≡ 8(mod 9).

Zatem szukany wyraz będzie taki sam jak wyraz 8, czyli będzie to 8.  
Odpowiedź: A

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!