/Szkoła średnia/Równania/Z kropkami

Zadanie nr 1450031

Rozwiąż równanie (1+ x)+ (2+ 3x)+ (3+ 5x) + ...+ (50 + 9 9x) = 275 , jeśli wiadomo, że składniki po lewej stronie są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Widać, że ciąg z lewej strony równania jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 1 + 2x . Zatem ze wzoru n –ty wyraz ciągu mamy

50+ 99x = an = a1 + (n− 1)r = 1 + x + (n − 1) ⋅(1+ 2x) 49+ 98x = (n − 1)(1+ 2x) / : (1+ 2x) 49 = n − 1 ⇐ ⇒ n = 50 .

Zatem z lewej strony równania jest n = 50 składników i ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy

a1 +-an- 1-+-x-+-5-0+--99x 275 = 2 ⋅n = 2 ⋅50 = (5 1+ 1 00x) ⋅25 / : 25 11 = 5 1+ 100x 40-- 4-- 2- − 40 = 10 0x ⇒ x = − 100 = − 10 = − 5 .

 
Odpowiedź: 2 x = − 5

Wersja PDF