Zadanie nr 1784279
Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie

ma rozwiązania?
Rozwiązanie
Lewa strona jest zbieżnym szeregiem geometrycznym o ile , czyli dla
. Prawa strona jest natomiast zbieżna, o ile
. Mamy wtedy

Aby ustalić dla jakich wartości parametru równanie to ma rozwiązanie, spróbujemy sprawdzić jakie wartości przyjmuje lewa strona. Jeżeli podstawimy
to mamy funkcję

na przedziale (wartości
). Policzmy jej pochodną

Widać, że dla pochodna jest dodatnia, czyli
jest rosnąca. Zatem wartości
na przedziale
to dokładnie przedział

Pozostało ustalić kiedy

Jeżeli ten warunek będzie spełniony, dla odpowiedniego będzie zawszem można dobrać
, czyli równanie będzie miało rozwiązanie (w dodatku dokładnie jedno, bo
jest rosnąca).

Odpowiedź: