Zadanie nr 2152098

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

2x − -6x---+ ---18x---− --54x---+ ... x − 1 (x − 1 )2 (x− 1)3

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa 15 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wartości x = 0 i x = 1 są wykluczone przez treść zadania i ma to sens, bo dla x = 0 mamy sumę samych 0, a dla x = 1 mamy zera w mianownikach.

Kolejna rzecz, którą musimy ustalić, to dla jakich wartości dany szereg jest zbieżny. Tak będzie, gdy

|| 3 || 3 1 > |q| = ||− -----|| = ------- / ⋅|x− 1| x − 1 |x − 1 | |x − 1| > 3 x − 1 > 3 lub x − 1 < − 3 x > 4 lub x < − 2.

Przy tym założeniu suma szeregu jest równa

a1 2x 2x 2x(x − 1) ------= -----3--= x−-1+3 = ---------. 1 − q 1+ x−1 x− 1 x + 2

Pozostało teraz rozwiązać równanie

15-= 2x(x-−-1)- 2 x + 2 15(x + 2) = 4x(x − 1) 0 = 4x2 − 19x − 30 2 Δ = 361+ 480 = 84 1 = 29 19−--29- 5- 19+--29- x = 8 = − 4 lub x = 8 = 6.

Tylko druga z tych liczb spełnia warunek

x ∈ (−∞ ,− 2) ∪ (4,+ ∞ ).

Odpowiedź: x = 6