/Szkoła średnia/Równania/Z kropkami

Zadanie nr 4039052

Rozwiąż równanie 3 5 2n− 1 36 2⋅ 2 ⋅2 ⋅...⋅2 = 16 , gdy n ∈ N .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształćmy lewą stronę równania

3 5 2n−1 1+3+5+...+2n− 1 2⋅2 ⋅2 ⋅...⋅2 = 2 .

Widać, że wykładnik jest sumą n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i n -tym równym 2n − 1 . Zatem

n(1+2n−1) 2 21+ 3+ 5+...+2n−1 = 2 ---2--- = 2n .

Przekształćmy prawą stronę równania

( ) 36 1 636 = 24 = 24⋅36 = 2144.

Stąd

n2 144 2 = 2 n2 = 1 44 n = 1 2 lub n = − 12.

Odrzucamy ujemne rozwiązanie i otrzymujemy, że n = 1 2 .  
Odpowiedź: n = 12

Wersja PDF