/Szkoła średnia/Równania/Z kropkami

Zadanie nr 5485125

O funkcji g wiadomo, że 2 3 g(x) + g (x )+ g (x)+ ...= x , gdzie lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego zbieżnego. Dla jakich wartości parametru m równanie |g(x)| = 2m 2 − m3 posiada dwa rozwiązania?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw jaki wzór musi mieć funkcja g(x) , tak żeby

g(x) x = g(x)+g 2(x)+ g3(x)+ ...= --------- 1− g(x) x(1 − g(x)) = g(x) x− xg(x) = g(x) --x--- x = g(x)(x + 1) ⇒ g (x) = x + 1 .

Powyższy rachunek ma sens o ile

| | ||--x--|| 1 > |g(x )| = |x+ 1| x x 1 > ------ ∧ ------> − 1 x+ 1 x + 1 x−--(x+--1)- x-+-(x-+-1)- 0 > x+ 1 ∧ x + 1 > 0 1 2x + 1 ------> 0 ∧ -------> 0 x + 1 x+ 1

Lewa nierówność oznacza, że x > − 1 , więc z prawej nierówności mamy

1 2x + 1 > 0 ⇐ ⇒ x > − -. 2

Dziedziną funkcji g jest więc przedział ( 1 ) − 2 ,+ ∞ .

Szkicujemy teraz wykres funkcji

| | | | | | ||--x--|| ||x-+-1-−-1-|| || ---1--|| y = |x+ 1| = | x + 1 | = |1 − x + 1|.

Funkcja pod wartością bezwzględną to hiperbola y = − 1 x przesunięta o wektor [− 1,1] . Potem musimy jeszcze odbić część poniżej osi Ox do góry.

PIC

Z wykresu widać, że dane równanie będzie miało dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy

0 < 2m 2 − m 3 ∧ 2m 2 − m 3 < 1 2 3 2 m (m − 2) < 0 ∧ m − 2m + 1 > 0 .

Lewa nierówność jest spełniona dla m ∈ (− ∞ ,0) ∪ (0,2) . Zanim rozwiążemy prawą nierówność, rozłóżmy znajdujący się w niej wielomian. Widać, że jednym z jego pierwiastków jest m = 1 , więc dzielimy go przez (m − 1) . My zrobimy to grupując wyrazy.

0 < m 3 − 2m 2 + 1 = m 3 − m 2 − m 2 + 1 = m 2(m − 1) − (m 2 − 1) = 2 2 = m (m − 1) − (m + 1)(m − 1 ) = (m − m − 1)(m − 1).

Rozkładamy jeszcze trójmian w pierwszym nawiasie.

Δ = 1+ 4 = 5 √ -- √ -- 1-−---5- 1+----5- m = 2 ≈ −0 ,6 lub m = 2 ≈ 1,6 .

Mamy więc nierówność

( √ -) ( √ -) 0 < m − 1−----5- m − 1-+---5- (m − 1) 2 2

i jej rozwiązaniem jest zbiór

( ) ( ) 1− √ 5- 1+ √ 5- m ∈ -------,1 ∪ -------,+ ∞ . 2 2

Łączymy ten warunek z otrzymanym wcześniej warunkiem m ∈ (− ∞ ,0 )∪ (0,2) mamy

( -- ) ( -- ) 1 − √ 5 1 + √ 5 m ∈ --------,0 ∪ (0,1) ∪ -------,2 . 2 2

 
Odpowiedź: ( √- ) ( √ - ) m ∈ 1−--5,0 ∪ (0 ,1)∪ 1+--5,2 2 2

Wersja PDF