/Szkoła średnia/Równania/Z kropkami

Zadanie nr 7251930

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż równanie 1√ -----x+-1---- x x−1 x−2 2 10 ⋅3 − 9 = 3 + 3 + 3 + ⋅⋅⋅ .

Rozwiązanie

Na początku powinniśmy sprawdzić dziedzinę równania, ale zamiast tego sprawdzimy na koniec otrzymane rozwiązania.

Prawa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego o ilorazie 13 . Zatem możemy podane równanie zapisać w postaci

1-∘ -----x+-1---- -3x--- 2 10 ⋅3 − 9 = 1− 1 /⋅ 2 ∘ ------------- 3 1 0⋅3x+ 1 − 9 = 3x+ 1 √ -------- 2 10t − 9 = t /() 2 10t − 9 = t t2 − 10t+ 9 = 0,

gdzie podstawiliśmy 3x+1 = t . Dalej mamy Δ = 100 − 36 = 64 = 82 , t = 1 lub t = 9 . Stąd x = − 1 lub x = 1 .

Łatwo sprawdzić, że oba rozwiązania należą do dziedziny równania (otrzymane liczby pod pierwiastkiem są dodatnie).  
Odpowiedź: x = − 1 lub x = 1

Wersja PDF