/Szkoła średnia/Równania/Z kropkami

Zadanie nr 7707009

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

3x − -6x---+ ---12x---− --24x---+ ... x + 1 (x + 1 )2 (x+ 1)3

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od − 1 i od 0), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa 187 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wartości x = − 1 i x = 0 są wykluczone przez treść zadania i ma to sens, bo dla x = 0 mamy sumę samych 0, a dla x = − 1 mamy zera w mianownikach.

Kolejna rzecz, którą musimy ustalić, to dla jakich wartości x dany szereg jest zbieżny. Tak będzie, gdy

 || 2 || 2 1 > |q| = ||− -----|| = ------- / ⋅|x+ 1| x + 1 |x + 1 | |x + 1| > 2 x + 1 > 2 lub x + 1 < − 2 x > 1 lub x < − 3.

Przy tym założeniu suma szeregu jest równa

 a1 3x 3x 3x(x + 1) ------= -----2--= x+-1+2 = ---------. 1 − q 1+ x+1 x+ 1 x + 3

Pozostało teraz rozwiązać równanie

 187-= 3x(x-+-1)- 2 x + 3 187(x + 3) = 6x(x + 1) 0 = 6x2 − 181x − 56 1 2 Δ = 32761 + 134 64 = 4622 5 = 215 181-−-215- 34- 17- 181-+-215- 396- x = 12 = − 12 = − 6 lub x = 12 = 12 = 33.

Tylko druga z tych liczb spełnia warunek

x ∈ (−∞ ,− 3) ∪ (1,+ ∞ ).

 
Odpowiedź: x = 33

Wersja PDF
spinner