Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8875612

Rozwiąż równanie  1+sin x+sin2x+ sin3x+⋅⋅⋅ √3--- 5 = 25 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jeżeli zapiszemy równanie w postaci

 1+ sinx+ sin2x+sin3x+ ⋅⋅⋅ 2 5 = 53,

to widać, że musimy rozwiązać równanie

 2 1+ sin x + sin2x + sin3 x + ⋅⋅⋅ = --. 3

Lewa strona jest zbieżnym szeregiem geometrycznym, o ile |sin x| < 1 , czyli sin x ⁄= ± 1 . Mamy wtedy

 1 2 ---------= -- 1− sin x 3 3 = 2(1− sin x) 2 sinx = − 1 1- sin x = − 2 π 5π x = − --+ 2kπ ∨ x = − --- + 2kπ . 6 6

 
Odpowiedź:  π- x = − 6 + 2kπ lub  5π- x = − 6 + 2kπ dla k ∈ C .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!