/Szkoła średnia/Równania/Z kropkami

Zadanie nr 8875612

Rozwiąż równanie 1+sin x+sin2x+ sin3x+⋅⋅⋅ √3--- 5 = 25 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli zapiszemy równanie w postaci

1+ sinx+ sin2x+sin3x+ ⋅⋅⋅ 2 5 = 53,

to widać, że musimy rozwiązać równanie

2 1+ sin x + sin2x + sin3 x + ⋅⋅⋅ = --. 3

Lewa strona jest zbieżnym szeregiem geometrycznym, o ile |sin x| < 1 , czyli sin x ⁄= ± 1 . Mamy wtedy

1 2 ---------= -- 1− sin x 3 3 = 2(1− sin x) 2 sinx = − 1 1- sin x = − 2 π 5π x = − --+ 2kπ ∨ x = − --- + 2kπ . 6 6

 
Odpowiedź: π- x = − 6 + 2kπ lub 5π- x = − 6 + 2kπ dla k ∈ C .

Wersja PDF