Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8952681

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

 1 1 1 ------------, --------------2,--------------3-,..., sinx + co sx (sin x + cos x) (sin x+ cosx)

gdzie  π 0 < x < 2- .

  • Wykaż, że dany ciąg jest malejący.
  • Wyznacz sumę S wszystkich wyrazów tego ciągu.
  • Wiedząc, że suma S wszystkich wyrazów tego ciągu wynosi √-1-- 2− 1 , oblicz x .
Wersja PDF
Rozwiązanie
  • Policzmy różnicę dwóch sąsiednich wyrazów.
    a − a = --------1---------− -------1-------- = n+1 n (sin x + cos x)n+1 (sin x+ cosx )n 1− sin x − cos x = ------------------. (sinx + co sx)n+ 1

    Wystarczy pokazać, że

    1 < sin x + cos(x ) 1 < sin x + sin π-− x 2 ( x + π-− x) ( x − π-+ x) 1 < 2sin -----2---- cos -----2---- 2( ) 2 1 < 2sin π-cos x − π- 4 4 1 ( π ) √---< cos x − -4 √ 2- --2- ( π-) 2 < cos x − 4 .

    Jeżeli  π- x ∈ (0,2 ) , to  π- π- π- x− 4 ∈ (− 4,4 ) i powyższa nierówność jest spełniona.

  • Liczymy
     ----1---- S = --sinx+cosx-- = -------1--------. 1 − sinx1+cosx sin x + cos x− 1

     
    Odpowiedź: S = sinx+1cosx−1

  • Musimy rozwiązać równanie
     1 1 -----------------= √------- s√inx + co sx − 1 2− 1 2− 1 = sinx + co sx − 1 √ -- π ( π ) 2 = sinx + co sx = 2 sin --cos x − -- ( ) 4 4 1 = cos x − π- 4 x− π-= 0 ⇒ x = π-. 4 4

     
    Odpowiedź:  π- x = 4

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!