/Szkoła średnia/Równania/Z kropkami

Zadanie nr 9845843

Rozwiąż równanie, w którym lewa strona jest sumą zbieżnego szeregu geometrycznego.

( ) n + n-+ n-+ -n-+ ⋅⋅⋅ = n . 3 9 27 2
Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli lewa strona ma być zbieżnym szeregiem geometrycznym, to musi być spełniony warunek

− 1 < 1-< 1. 3

czyli wszystko jest OK.

Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego i ze wzoru na symbol Newtona.

--n--- n(n-−-1)- 1− 1 = 2 3 3n-= n(n-−-1)- 2 2 3n = n (n− 1) n(3− (n − 1)) = 0 n(4− n) = 0.

Zatem jedyne rozwiązania to n = 0 i n = 4 .  
Odpowiedź: n = 0 lub n = 4

Wersja PDF