Zadanie nr 1010737

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD (patrz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Krawędź jest wysokością tego ostrosłupa. Odległość punktu od krawędzi jest równa , a kąt dwuścienny między ścianami BCS i CDS ma miarę 2 α , gdzie α ∈ ( π, π-) 4 2 . Oblicz:

odległość punktu od krawędzi
wysokość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokości i w ścianach BCS i CDS opuszczone na krawędź .

ZINFO-FIGURE

Od razu zauważmy, że krawędź jest prostopadła do dwóch prostych w płaszczyźnie DBE , jest więc prostopadła do całej płaszczyzny. W szczególności jeżeli jest środkiem kwadratu w podstawie to OE ⊥ CS (bo leży w płaszczyźnie DBE ). Ponadto, ponieważ płaszczyzna DBE jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego między ścianami BCS i CDS , mamy

∡DEB = 2 α.

Wiemy też z treści, że

BE = DE = d .

Poprowadźmy wysokość w trójkącie . Długość tej wysokości to dokładnie odległość punktu od krawędzi . Jak już wcześniej zauważyliśmy, , czyli odcinki i są równoległe. To oznacza, że (bo ). Długość odcinka możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego .

$OE-- = cos α ⇒ OE = dcos α. EB$

Zatem

$AF = 2OE = 2d cosα.$

Odpowiedź:
Zauważmy, że trójkąty i są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku , są więc podobne. Zatem

$AS-- EO-- EO-- AC = EC ⇒ AS = EC ⋅AC .$

Wiemy już, że , ponadto

$OB-- EB = sinα ⇒ AC = 2OC = 2OB = 2d sin α.$

Pozostało jeszcze wyliczyć . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie .

$∘ ------------ ∘ -------------------- --------- EC = OC 2 − OE 2 = d2sin2 α− d2cos2 α = d√ − cos2α$

(wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, bo ). Mamy więc

$EO-- --d-cosα---- -d-sin-2α--- AS = EC ⋅AC = d√ −-cos-2α-⋅2d sin α = √ −-cos-2α.$

Odpowiedź: