Zadanie nr 1010737

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD (patrz rysunek).

Krawędź jest wysokością tego ostrosłupa. Odległość punktu od krawędzi jest równa , a kąt dwuścienny między ścianami BCS i CDS ma miarę 2 α , gdzie α ∈ ( π, π-) 4 2 . Oblicz:

odległość punktu od krawędzi
wysokość tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokości i w ścianach BCS i CDS opuszczone na krawędź .

Od razu zauważmy, że krawędź jest prostopadła do dwóch prostych w płaszczyźnie DBE , jest więc prostopadła do całej płaszczyzny. W szczególności jeżeli jest środkiem kwadratu w podstawie to OE ⊥ CS (bo leży w płaszczyźnie DBE ). Ponadto, ponieważ płaszczyzna DBE jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego między ścianami BCS i CDS , mamy

∡DEB = 2 α.

Wiemy też z treści, że

BE = DE = d .

Poprowadźmy wysokość w trójkącie . Długość tej wysokości to dokładnie odległość punktu od krawędzi . Jak już wcześniej zauważyliśmy, , czyli odcinki i są równoległe. To oznacza, że (bo ). Długość odcinka możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego .
$OE--= cosα ⇒ OE = d cosα . EB$

Zatem

$AF = 2OE = 2d cos α.$

Odpowiedź:
Zauważmy, że trójkąty i są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku , są więc podobne. Zatem
$AS--= EO-- ⇒ AS = EO--⋅AC . AC EC EC$

Wiemy już, że , ponadto

$OB ----= sin α ⇒ AC = 2OC = 2OB = 2d sinα . EB$

Pozostało jeszcze wyliczyć . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie .

$∘ ----2------2 ∘ --2---2-----2----2-- √ --------- EC = OC − OE = d sin α − d cos α = d − co s2α$

(wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, bo ). Mamy więc

$EO dco sα dsin 2α AS = ----⋅AC = -√----------⋅ 2dsin α = √----------. EC d − cos2α − cos2α$

Odpowiedź: