Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD (patrz rysunek).... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Kwadrat w podstawie, 1010737

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Czworokątny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Kwadrat w podstawie

Zadanie nr 1010737

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$ (patrz rysunek).

Krawędź $AS$ jest wysokością tego ostrosłupa. Odległość punktu $B$ od krawędzi $CS$ jest równa $d$ , a kąt dwuścienny między ścianami $BCS$ i $CDS$ ma miarę $2 α$ , gdzie $α ∈ ( π, π-) 4 2$ . Oblicz:

odległość punktu $A$ od krawędzi $CS$
wysokość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokości $BE$ i $DE$ w ścianach $BCS$ i $CDS$ opuszczone na krawędź $CS$ .

Od razu zauważmy, że krawędź $CS$ jest prostopadła do dwóch prostych w płaszczyźnie $DBE$ , jest więc prostopadła do całej płaszczyzny. W szczególności jeżeli $O$ jest środkiem kwadratu w podstawie to $OE ⊥ CS$ (bo $OE$ leży w płaszczyźnie $DBE$ ). Ponadto, ponieważ płaszczyzna $DBE$ jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego między ścianami $BCS$ i $CDS$ , mamy

∡DEB = 2 α.

Wiemy też z treści, że

BE = DE = d .

Poprowadźmy wysokość $AF$ w trójkącie $ACS$ . Długość tej wysokości to dokładnie odległość punktu $A$ od krawędzi $CS$ . Jak już wcześniej zauważyliśmy, $OE ⊥ CS$ , czyli odcinki $AF$ i $OE$ są równoległe. To oznacza, że $AF = 2OE$ (bo $AC = 2OC$ ). Długość odcinka $OE$ możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego $OBE$ . $OE--= cosα ⇒ OE = d cosα . EB$
Zatem
$AF = 2OE = 2d cos α.$

Odpowiedź: $2d cosα$
Zauważmy, że trójkąty $ACS$ i $ECO$ są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku $C$ , są więc podobne. Zatem $AS--= EO-- ⇒ AS = EO--⋅AC . AC EC EC$
Wiemy już, że $EO = dco sα$ , ponadto
$OB ----= sin α ⇒ AC = 2OC = 2OB = 2d sinα . EB$
Pozostało jeszcze wyliczyć $EC$ . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $EOC$ .
$∘ ----2------2 ∘ --2---2-----2----2-- √ --------- EC = OC − OE = d sin α − d cos α = d − co s2α$
(wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, bo $( ) α ∈ π4, π2$ ). Mamy więc
$EO dco sα dsin 2α AS = ----⋅AC = -√----------⋅ 2dsin α = √----------. EC d − cos2α − cos2α$

Odpowiedź: $√-dsin2α-- − cos2α$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Dodaj komentarz

Legalni bukmacherzy