/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Kwadrat w podstawie

Zadanie nr 1010737

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD (patrz rysunek).


PIC


Krawędź AS jest wysokością tego ostrosłupa. Odległość punktu B od krawędzi CS jest równa d , a kąt dwuścienny między ścianami BCS i CDS ma miarę 2 α , gdzie α ∈ ( π, π-) 4 2 . Oblicz:

  • odległość punktu A od krawędzi CS
  • wysokość tego ostrosłupa.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokości BE i DE w ścianach BCS i CDS opuszczone na krawędź CS .


PIC


Od razu zauważmy, że krawędź CS jest prostopadła do dwóch prostych w płaszczyźnie DBE , jest więc prostopadła do całej płaszczyzny. W szczególności jeżeli O jest środkiem kwadratu w podstawie to OE ⊥ CS (bo OE leży w płaszczyźnie DBE ). Ponadto, ponieważ płaszczyzna DBE jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego między ścianami BCS i CDS , mamy

∡DEB = 2 α.

Wiemy też z treści, że

BE = DE = d .
  • Poprowadźmy wysokość AF w trójkącie ACS . Długość tej wysokości to dokładnie odległość punktu A od krawędzi CS . Jak już wcześniej zauważyliśmy, OE ⊥ CS , czyli odcinki AF i OE są równoległe. To oznacza, że AF = 2OE (bo AC = 2OC ). Długość odcinka OE możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego OBE .
    OE--= cosα ⇒ OE = d cosα . EB

    Zatem

    AF = 2OE = 2d cos α.

     
    Odpowiedź: 2d cosα

  • Zauważmy, że trójkąty ACS i ECO są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku C , są więc podobne. Zatem
    AS--= EO-- ⇒ AS = EO--⋅AC . AC EC EC

    Wiemy już, że EO = dco sα , ponadto

    OB ----= sin α ⇒ AC = 2OC = 2OB = 2d sinα . EB

    Pozostało jeszcze wyliczyć EC . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie EOC .

     ∘ ----2------2 ∘ --2---2-----2----2-- √ --------- EC = OC − OE = d sin α − d cos α = d − co s2α

    (wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, bo  ( ) α ∈ π4, π2 ). Mamy więc

     EO dco sα dsin 2α AS = ----⋅AC = -√----------⋅ 2dsin α = √----------. EC d − cos2α − cos2α

     
    Odpowiedź: √-dsin2α-- − cos2α

Wersja PDF
spinner