/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Kwadrat w podstawie

Zadanie nr 1010737

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD (patrz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Krawędź AS jest wysokością tego ostrosłupa. Odległość punktu B od krawędzi CS jest równa d , a kąt dwuścienny między ścianami BCS i CDS ma miarę 2 α , gdzie α ∈ ( π, π-) 4 2 . Oblicz:

  • odległość punktu A od krawędzi CS

  • wysokość tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokości BE i DE w ścianach BCS i CDS opuszczone na krawędź CS .

ZINFO-FIGURE

Od razu zauważmy, że krawędź CS jest prostopadła do dwóch prostych w płaszczyźnie DBE , jest więc prostopadła do całej płaszczyzny. W szczególności jeżeli O jest środkiem kwadratu w podstawie to OE ⊥ CS (bo OE leży w płaszczyźnie DBE ). Ponadto, ponieważ płaszczyzna DBE jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego między ścianami BCS i CDS , mamy

∡DEB = 2 α.

Wiemy też z treści, że

BE = DE = d .

  • Poprowadźmy wysokość AF w trójkącie ACS . Długość tej wysokości to dokładnie odległość punktu A od krawędzi CS . Jak już wcześniej zauważyliśmy, OE ⊥ CS , czyli odcinki AF i OE są równoległe. To oznacza, że AF = 2OE (bo AC = 2OC ). Długość odcinka OE możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego OBE .

    OE-- = cos α ⇒ OE = dcos α. EB

    Zatem

    AF = 2OE = 2d cosα.

     
    Odpowiedź: 2d cosα

  • Zauważmy, że trójkąty ACS i ECO są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku C , są więc podobne. Zatem

    AS-- EO-- EO-- AC = EC ⇒ AS = EC ⋅AC .

    Wiemy już, że EO = d cosα , ponadto

    OB-- EB = sinα ⇒ AC = 2OC = 2OB = 2d sin α.

    Pozostało jeszcze wyliczyć EC . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie EOC .

    ∘ ------------ ∘ -------------------- --------- EC = OC 2 − OE 2 = d2sin2 α− d2cos2 α = d√ − cos2α

    (wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, bo ( π-π-) α ∈ 4, 2 ). Mamy więc

    EO-- --d-cosα---- -d-sin-2α--- AS = EC ⋅AC = d√ −-cos-2α-⋅2d sin α = √ −-cos-2α.

     
    Odpowiedź: √-dsin2α-- − cos2α

Wersja PDF