Zadanie nr 1459498
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat
. Krawędź boczna
jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi
i
tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Szkicujemy ostrosłup.
Zauważmy, że krawędź jest prostopadła do
i do
(bo jest równoległa do
). To oznacza, że krawędź
jest prostopadła do płaszczyzny
. Jest więc prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie, w szczególności trójkąt
jest prostokątny.
Analogicznie wykazujemy, że trójkąt jest prostokątny. Obliczamy teraz długości krawędzi
ostrosłupa.
![∘ ------------ ∘ --------- √ -- SA = SC = AD 2 + SD 2 = a2 + 4a2 = a 5 ∘ ---2------2- ∘ --2----2- √ -- SB = SA + AB = 5a + a = a 6.](https://img.zadania.info/zad/1459498/HzadR10x.gif)
Aby zaznaczyć kąt między ścianami i
ostrosłupa dorysowujemy wysokości
i
ścian bocznych (płaszczyzna
jest prostopadła do krawędzi wspólnej
ścian
i
, więc kąt
jest interesującym nas kątem między tymi ścianami).
Wysokość trójkąta prostokątnego
możemy obliczyć porównując dwa wzory na pole.
![1AB ⋅AS = PABS = 1BS ⋅AE 2 2√ -- √ -- AB ⋅ AS a ⋅a 5 5 AE = ---------= ---√----= √--a. BS a 6 6](https://img.zadania.info/zad/1459498/HzadR22x.gif)
Sinus kąta obliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Odcinek jest wysokością w trójkącie równoramiennym
, więc
![√ - √ --- √ -- α AF a2-2 12 3 sin --= ----= √-5- = --√---= √---. 2 AE √-6a 2 5 5](https://img.zadania.info/zad/1459498/HzadR26x.gif)
Obliczamy teraz .
![2 α- 3- 1- cosα = 1− 2sin 2 = 1− 2 ⋅5 = − 5 .](https://img.zadania.info/zad/1459498/HzadR28x.gif)
Pozostało obliczyć teraz .
![∘ ------- √ --- √ -- ∘ -------2-- -1- --24- 2--6- sin α = 1− cos α = 1 − 25 = 5 = 5 .](https://img.zadania.info/zad/1459498/HzadR30x.gif)
Sposób II
Tym razem obliczamy pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie
.
![2 2 2 2 2 2 AC = AE + CE − 2AE ⋅CE cosα = 2AE − 2AE cosα = 2AE (1 − cos α) 2 5- 2 2a = 2 ⋅6 a (1− cosα) 6 1 1− cosα = -- ⇒ cos α = − --. 5 5](https://img.zadania.info/zad/1459498/HzadR33x.gif)
Pozostało obliczyć teraz .
![∘ ------- √ --- √ -- ∘ -------2-- -1- --24- 2--6- sin α = 1− cos α = 1 − 25 = 5 = 5 .](https://img.zadania.info/zad/1459498/HzadR35x.gif)
Odpowiedź: