/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Kwadrat w podstawie

Zadanie nr 1459498

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD . Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy ostrosłup.

PIC

Zauważmy, że krawędź AB jest prostopadła do AD i do DS (bo jest równoległa do DC ). To oznacza, że krawędź AB jest prostopadła do płaszczyzny ADS . Jest więc prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie, w szczególności trójkąt ABS jest prostokątny.

Analogicznie wykazujemy, że trójkąt BCS jest prostokątny. Obliczamy teraz długości krawędzi SA ,SB ,SC ostrosłupa.

∘ ------------ ∘ --------- √ -- SA = SC = AD 2 + SD 2 = a2 + 4a2 = a 5 ∘ ---2------2- ∘ --2----2- √ -- SB = SA + AB = 5a + a = a 6.

Aby zaznaczyć kąt między ścianami ABS i CBS ostrosłupa dorysowujemy wysokości AE i CE ścian bocznych (płaszczyzna AEC jest prostopadła do krawędzi wspólnej BS ścian ABS i CBS , więc kąt AEC jest interesującym nas kątem między tymi ścianami).

Wysokość AE = EC trójkąta prostokątnego ABS możemy obliczyć porównując dwa wzory na pole.

1AB ⋅AS = PABS = 1BS ⋅AE 2 2√ -- √ -- AB ⋅ AS a ⋅a 5 5 AE = ---------= ---√----= √--a. BS a 6 6

Sinus kąta α = AEC obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Odcinek EF jest wysokością w trójkącie równoramiennym AEC , więc

√ - √ --- √ -- α AF a2-2 12 3 sin --= ----= √-5- = --√---= √---. 2 AE √-6a 2 5 5

Obliczamy teraz co sα .

2 α- 3- 1- cosα = 1− 2sin 2 = 1− 2 ⋅5 = − 5 .

Pozostało obliczyć teraz sin α .

∘ ------- √ --- √ -- ∘ -------2-- -1- --24- 2--6- sin α = 1− cos α = 1 − 25 = 5 = 5 .

Sposób II

Tym razem obliczamy co sα pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie AEC .

2 2 2 2 2 2 AC = AE + CE − 2AE ⋅CE cosα = 2AE − 2AE cosα = 2AE (1 − cos α) 2 5- 2 2a = 2 ⋅6 a (1− cosα) 6 1 1− cosα = -- ⇒ cos α = − --. 5 5

Pozostało obliczyć teraz sin α .

∘ ------- √ --- √ -- ∘ -------2-- -1- --24- 2--6- sin α = 1− cos α = 1 − 25 = 5 = 5 .

 
Odpowiedź: √ - 2--6 5

Wersja PDF