Zadanie nr 1459498
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat
. Krawędź boczna
jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi
i
tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Szkicujemy ostrosłup.
Zauważmy, że krawędź jest prostopadła do
i do
(bo jest równoległa do
). To oznacza, że krawędź
jest prostopadła do płaszczyzny
. Jest więc prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie, w szczególności trójkąt
jest prostokątny.
Analogicznie wykazujemy, że trójkąt jest prostokątny. Obliczamy teraz długości krawędzi
ostrosłupa.

Aby zaznaczyć kąt między ścianami i
ostrosłupa dorysowujemy wysokości
i
ścian bocznych (płaszczyzna
jest prostopadła do krawędzi wspólnej
ścian
i
, więc kąt
jest interesującym nas kątem między tymi ścianami).
Wysokość trójkąta prostokątnego
możemy obliczyć porównując dwa wzory na pole.

Sinus kąta obliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Odcinek jest wysokością w trójkącie równoramiennym
, więc

Obliczamy teraz .

Pozostało obliczyć teraz .

Sposób II
Tym razem obliczamy pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie
.

Pozostało obliczyć teraz .

Odpowiedź: