Zadanie nr 2386073
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat
. Trójkąt równoramienny
ma ramię długości 15 i jest prostopadły do podstawy ostrosłupa. Krawędź
ma długość 17. Oblicz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny
do płaszczyzny podstawy, gdzie
jest środkiem krawędzi
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.
Przekrój ostrosłupa płaszczyzną jest trapezem równoramiennym
, gdzie
i
środki krawędzi
i
. Kąt
między płaszczyzną
, a płaszczyzną podstawy otrzymamy przecinając te płaszczyzny płaszczyzną prostopadłą do ich wspólnej krawędzi
. Jeżeli poprowadzimy ten przekrój przez punkt
, to otrzymamy trójkąt
, gdzie
to wysokość trapezu
, a
rzut punktu
na płaszczyznę podstawy. Musimy zatem obliczyć długości odcinków
i
.
Zauważmy, że trójkąt jest prostokątny (bo prosta
jest prostopadła do płaszczyzny
). To pozwala obliczyć długość krawędzi kwadratu w podstawie.

Długość odcinka obliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Wiemy jakie są długości podstaw trapezu :
. Potrzebujemy jeszcze jego wysokości. Obliczmy najpierw długość odcinka
. Pamiętamy, że
, zatem

Rysujemy teraz z boku trapez i zaznaczamy jego wysokości
i
. Z trójkąta prostokątnego
mamy

Pozostało obliczyć .

Sposób II
Obliczmy najpierw długość odcinka . Jest on równy połowie wysokości trójkąta
, czyli ma długość

Z trójkąta prostokątnego obliczamy długość odcinka
.

Cosinus kąta obliczamy jak poprzednio.
Odpowiedź: