Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Trójkąt równoramienny... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Kwadrat w podstawie, 2386073

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Czworokątny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Kwadrat w podstawie

Zadanie nr 2386073

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$ . Trójkąt równoramienny $ASD$ ma ramię długości 15 i jest prostopadły do podstawy ostrosłupa. Krawędź $BS$ ma długość 17. Oblicz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny $BCE$ do płaszczyzny podstawy, gdzie $E$ jest środkiem krawędzi $SA$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

Przekrój ostrosłupa płaszczyzną $BCE$ jest trapezem równoramiennym $BCF E$ , gdzie $E$ i $F$ środki krawędzi $AS$ i $DS$ . Kąt $α$ między płaszczyzną $BCF E$ , a płaszczyzną podstawy otrzymamy przecinając te płaszczyzny płaszczyzną prostopadłą do ich wspólnej krawędzi $BC$ . Jeżeli poprowadzimy ten przekrój przez punkt $E$ , to otrzymamy trójkąt $MKE$ , gdzie $EK$ to wysokość trapezu $BCF E$ , a $M$ rzut punktu $E$ na płaszczyznę podstawy. Musimy zatem obliczyć długości odcinków $EK$ i $MK$ .

Zauważmy, że trójkąt $ABS$ jest prostokątny (bo prosta $AB$ jest prostopadła do płaszczyzny $ADS$ ). To pozwala obliczyć długość krawędzi kwadratu w podstawie.

∘ ----------- ∘ ---------- AB = SB 2 − SA 2 = 1 72 − 1 52 = 8.

Długość odcinka $EK$ obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Wiemy jakie są długości podstaw trapezu $BCF E$ : $1 BC = 8,EF = 2AD = 4$ . Potrzebujemy jeszcze jego wysokości. Obliczmy najpierw długość odcinka $BE$ . Pamiętamy, że $∡BAS = 90 ∘$ , zatem