Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2386073

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD . Trójkąt równoramienny ASD ma ramię długości 15 i jest prostopadły do podstawy ostrosłupa. Krawędź BS ma długość 17. Oblicz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny BCE do płaszczyzny podstawy, gdzie E jest środkiem krawędzi SA .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.


PIC


Przekrój ostrosłupa płaszczyzną BCE jest trapezem równoramiennym BCF E , gdzie E i F środki krawędzi AS i DS . Kąt α między płaszczyzną BCF E , a płaszczyzną podstawy otrzymamy przecinając te płaszczyzny płaszczyzną prostopadłą do ich wspólnej krawędzi BC . Jeżeli poprowadzimy ten przekrój przez punkt E , to otrzymamy trójkąt MKE , gdzie EK to wysokość trapezu BCF E , a M rzut punktu E na płaszczyznę podstawy. Musimy zatem obliczyć długości odcinków EK i MK .

Zauważmy, że trójkąt ABS jest prostokątny (bo prosta AB jest prostopadła do płaszczyzny ADS ). To pozwala obliczyć długość krawędzi kwadratu w podstawie.

 ∘ ----------- ∘ ---------- AB = SB 2 − SA 2 = 1 72 − 1 52 = 8.

Długość odcinka EK obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Wiemy jakie są długości podstaw trapezu BCF E :  1 BC = 8,EF = 2AD = 4 . Potrzebujemy jeszcze jego wysokości. Obliczmy najpierw długość odcinka BE . Pamiętamy, że ∡BAS = 90 ∘ , zatem

 ------------ ∘ --------- √ ---- ∘ 2 2 225- --481- BE = AB + AE = 64 + 4 = 2 .

Rysujemy teraz z boku trapez BCF E i zaznaczamy jego wysokości EK i F L . Z trójkąta prostokątnego BKE mamy

 ∘ ----------- ∘ -------- √ ---- h = EK = BE 2 − BK 2 = 481-− 4 = --465-. 4 2

Pozostało obliczyć cosα .

 √ ---- MK-- --8-- --16-- 16---465 cos α = EK = √-465-= √ 465-= 4 65 . 2

Sposób II

Obliczmy najpierw długość odcinka ME . Jest on równy połowie wysokości trójkąta ADS , czyli ma długość

 ∘ ---------------- ∘ --------- √ ---- ME = 1- AS 2 − (1AD )2 = 1- 152 − 42 = 1- 209. 2 2 2 2

Z trójkąta prostokątnego MKE obliczamy długość odcinka EK .

 ∘ ------------- ∘ --------- √ ---- EK = ME 2 + MK 2 = 209-+ 64 = --4-65. 4 2

Cosinus kąta α obliczamy jak poprzednio.  
Odpowiedź:  --- √-16-- 16√465 465 = 465

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!