Zadanie nr 2386073
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat
. Trójkąt równoramienny
ma ramię długości 15 i jest prostopadły do podstawy ostrosłupa. Krawędź
ma długość 17. Oblicz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny
do płaszczyzny podstawy, gdzie
jest środkiem krawędzi
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.
Przekrój ostrosłupa płaszczyzną jest trapezem równoramiennym
, gdzie
i
środki krawędzi
i
. Kąt
między płaszczyzną
, a płaszczyzną podstawy otrzymamy przecinając te płaszczyzny płaszczyzną prostopadłą do ich wspólnej krawędzi
. Jeżeli poprowadzimy ten przekrój przez punkt
, to otrzymamy trójkąt
, gdzie
to wysokość trapezu
, a
rzut punktu
na płaszczyznę podstawy. Musimy zatem obliczyć długości odcinków
i
.
Zauważmy, że trójkąt jest prostokątny (bo prosta
jest prostopadła do płaszczyzny
). To pozwala obliczyć długość krawędzi kwadratu w podstawie.
![∘ ----------- ∘ ---------- AB = SB 2 − SA 2 = 1 72 − 1 52 = 8.](https://img.zadania.info/zad/2386073/HzadR21x.gif)
Długość odcinka obliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Wiemy jakie są długości podstaw trapezu :
. Potrzebujemy jeszcze jego wysokości. Obliczmy najpierw długość odcinka
. Pamiętamy, że
, zatem
![------------ ∘ --------- √ ---- ∘ 2 2 225- --481- BE = AB + AE = 64 + 4 = 2 .](https://img.zadania.info/zad/2386073/HzadR27x.gif)
Rysujemy teraz z boku trapez i zaznaczamy jego wysokości
i
. Z trójkąta prostokątnego
mamy
![∘ ----------- ∘ -------- √ ---- h = EK = BE 2 − BK 2 = 481-− 4 = --465-. 4 2](https://img.zadania.info/zad/2386073/HzadR32x.gif)
Pozostało obliczyć .
![√ ---- MK-- --8-- --16-- 16---465 cos α = EK = √-465-= √ 465-= 4 65 . 2](https://img.zadania.info/zad/2386073/HzadR34x.gif)
Sposób II
Obliczmy najpierw długość odcinka . Jest on równy połowie wysokości trójkąta
, czyli ma długość
![∘ ---------------- ∘ --------- √ ---- ME = 1- AS 2 − (1AD )2 = 1- 152 − 42 = 1- 209. 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/2386073/HzadR37x.gif)
Z trójkąta prostokątnego obliczamy długość odcinka
.
![∘ ------------- ∘ --------- √ ---- EK = ME 2 + MK 2 = 209-+ 64 = --4-65. 4 2](https://img.zadania.info/zad/2386073/HzadR40x.gif)
Cosinus kąta obliczamy jak poprzednio.
Odpowiedź: