Zadanie nr 3570758
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat
. Pole trójkąta równoramiennego
jest równe 120 oraz
. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Oznaczmy krawędź podstawy ostrosłupa przez .
Trójkąt składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych
i
, więc pole każdego z nich jest równe 60. Ponadto wiemy, że
![AE 1AC 5 ----= 2----= ---. AS AS 13](https://img.zadania.info/zad/3570758/HzadR5x.gif)
Ponadto (przekątna w kwadracie). Możemy więc wyliczyć pozostałe boki trójkąta
.
![√ -- √ -- AS = 13-AE = 13-⋅ a-2-= 13--2a- 5 5 2∘ -----10----- √ ---- √ -- √ -- ∘ ------------ 338a 2 a2 a 288 12 2a 6 2a SE = AS 2 − AE 2 = ------− ---= ------- = -------= ------. 100 2 10 10 5](https://img.zadania.info/zad/3570758/HzadR8x.gif)
Korzystamy teraz ze znanego pola trójkąta .
![√ -- √ -- 2 2 60 = 1-⋅AE ⋅SE = 1-⋅ a-2-⋅ 6--2a-= 6a--= 3a-- / ⋅ 5 2 2 2 5 10 5 3 100 = a2 ⇒ a = 10 .](https://img.zadania.info/zad/3570758/HzadR10x.gif)
Aby wyliczyć pole ściany bocznej potrzebujemy długość jej wysokości . Wyliczamy ją z trójkąta prostokątnego
.
![┌│ (--√------)-2------ ∘ ----------- │∘ 6 2⋅ 10 √ --------- √ ---- SF = SE 2 + EF 2 = --------- + 52 = 288 + 25 = 313. 5](https://img.zadania.info/zad/3570758/HzadR13x.gif)
Zatem pole ściany bocznej jest równe
![1 1 √ ---- √ ---- P = 2BC ⋅SF = 2-⋅10 ⋅ 313 = 5 313,](https://img.zadania.info/zad/3570758/HzadR14x.gif)
a całe pole boczne jest 4 razy większe.
Odpowiedź: