Zadanie nr 8636937
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat
o boku długości
, a krawędź boczna
jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa jeżeli cosinus kąta między ścianami bocznymi
i
tego ostrosłupa jest równy
.
Rozwiązanie
Szkicujemy ostrosłup.
Zauważmy, że krawędź jest prostopadła do
i do
(bo jest równoległa do
). To oznacza, że krawędź
jest prostopadła do płaszczyzny
. Jest więc prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie, w szczególności trójkąt
jest prostokątny. Analogicznie wykazujemy, że trójkąt
jest prostokątny.
Aby zaznaczyć kąt między ścianami i
ostrosłupa dorysowujemy wysokości
i
ścian bocznych (płaszczyzna
jest prostopadła do krawędzi wspólnej
ścian
i
, więc kąt
jest interesującym nas kątem między tymi ścianami).
Obliczymy teraz długość wysokości trójkąta
. W tym celu piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie równoramiennym
.
![( ) 2 2 2 2 2 1- AC = AE + CE − 2AE ⋅CE co sα = 2AE − 2AE ⋅ − 5 √ -- 2a 2 = 12AE 2 ⇒ AE = √-5a. 5 6](https://img.zadania.info/zad/8636937/HzadR21x.gif)
Oznaczmy teraz przez wysokość ostrosłupa. Jak wcześniej zauważyliśmy trójkąt
jest prostokątny. Obliczmy długości jego boków
i
.
![∘ ------------ ∘ -------- SA = SD 2 + AD 2 = h2 + a2 ∘ ------------ ∘ --------- SB = SD 2 + DB 2 = h 2 + 2a 2.](https://img.zadania.info/zad/8636937/HzadR26x.gif)
Porównujemy teraz dwa wzory na pole trójkąta (inny sposób to skorzystanie z podobieństwa trójkątów
i
).
![AB ⋅SA = 2PABS = SB ⋅AE ∘ -------- ∘ --------- √ 5- √ 6- a ⋅ h2 + a 2 = h2 + 2a2 ⋅√--a / ⋅---- 6 a √ --∘ -2----2- √ -- ∘ -2-----2- 2 6⋅ h + a = 5⋅ h + 2a / () 6h 2 + 6a2 = 5h2 + 10a2 ⇒ h2 = 4a2 ⇒ h = 2a.](https://img.zadania.info/zad/8636937/HzadR30x.gif)
Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa
![1- 1- 2 2-3 V = 3 PABCD ⋅ h = 3 a ⋅2a = 3a .](https://img.zadania.info/zad/8636937/HzadR31x.gif)
Odpowiedź: