Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości a,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Kwadrat w podstawie, 8636937

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Czworokątny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Kwadrat w podstawie

Zadanie nr 8636937

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $a$ , a krawędź boczna $SD$ jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa jeżeli cosinus kąta między ścianami bocznymi $ABS$ i $CBS$ tego ostrosłupa jest równy $− 1 5$ .

Rozwiązanie

Szkicujemy ostrosłup.

Zauważmy, że krawędź $AB$ jest prostopadła do $AD$ i do $DS$ (bo jest równoległa do $DC$ ). To oznacza, że krawędź $AB$ jest prostopadła do płaszczyzny $ADS$ . Jest więc prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie, w szczególności trójkąt $ABS$ jest prostokątny. Analogicznie wykazujemy, że trójkąt $BCS$ jest prostokątny.

Aby zaznaczyć kąt między ścianami $ABS$ i $CBS$ ostrosłupa dorysowujemy wysokości $AE$ i $CE$ ścian bocznych (płaszczyzna $AEC$ jest prostopadła do krawędzi wspólnej $BS$ ścian $ABS$ i $CBS$ , więc kąt $AEC$ jest interesującym nas kątem między tymi ścianami).

Obliczymy teraz długość wysokości $AE$ trójkąta $ABS$ . W tym celu piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie równoramiennym $ACE$ .

( ) 2 2 2 2 2 1- AC = AE + CE − 2AE ⋅CE co sα = 2AE − 2AE ⋅ − 5 √ -- 2a 2 = 12AE 2 ⇒ AE = √-5a. 5 6

Oznaczmy teraz przez $h = SD$ wysokość ostrosłupa. Jak wcześniej zauważyliśmy trójkąt $ABS$ jest prostokątny. Obliczmy długości jego boków $SA$ i $SB$ .