Zadanie nr 8636937
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat
o boku długości
, a krawędź boczna
jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa jeżeli cosinus kąta między ścianami bocznymi
i
tego ostrosłupa jest równy
.
Rozwiązanie
Szkicujemy ostrosłup.
Zauważmy, że krawędź jest prostopadła do
i do
(bo jest równoległa do
). To oznacza, że krawędź
jest prostopadła do płaszczyzny
. Jest więc prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie, w szczególności trójkąt
jest prostokątny. Analogicznie wykazujemy, że trójkąt
jest prostokątny.
Aby zaznaczyć kąt między ścianami i
ostrosłupa dorysowujemy wysokości
i
ścian bocznych (płaszczyzna
jest prostopadła do krawędzi wspólnej
ścian
i
, więc kąt
jest interesującym nas kątem między tymi ścianami).
Obliczymy teraz długość wysokości trójkąta
. W tym celu piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie równoramiennym
.

Oznaczmy teraz przez wysokość ostrosłupa. Jak wcześniej zauważyliśmy trójkąt
jest prostokątny. Obliczmy długości jego boków
i
.

Porównujemy teraz dwa wzory na pole trójkąta (inny sposób to skorzystanie z podobieństwa trójkątów
i
).

Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa

Odpowiedź: