Pięcioro przyjaciół zamierza na przyjęciu dać sobie nawzajem prezenty w taki sposób, że każdy da tylko jednej osobie prezent, i każdy otrzyma prezent tylko od jednej osoby (oczywiście nikt nie daje prezentu sobie). Na ile sposobów można to zrobić?
A) 5 B) 10 C) 44 D) 50 E) 120
Ustalmy jedną osobę, powiedzmy 
. Może ona dać prezent na 4 sposoby. Niech 
będzie osobą, która otrzymała prezent od 
. Mamy teraz dwie istotnie różne sytuacje.
Jeżeli 
daje prezent 
, to 
, 
i 
muszą dać sobie prezenty nawzajem – mogą to zrobić na dwa sposoby.
W sumie, w tej sytuacji, mamy 
możliwości
Jeżeli 
nie daje prezentu 
, to daje jednej z pozostałych 3 osób. Każdy z tych wyborów jest równoważny, powiedzmy, że 
daje prezent 
.
Dalej, 
może dać prezent na 3 sposoby i łatwo zobaczyć, że niezależenie od tego, której osobie daje prezent, osoby 
i 
nie mają już żadnego wyboru. Rzeczywiście, jeżeli 
daje prezent 
, to 
i 
muszą dać prezenty sobie nawzajem. Jeżeli natomiast 
daje prezent np. 
, to 
musi dać 
(bo 
musi od kogoś dostać prezent) i 
musi dać 
. Podobnie jeżeli 
daje prezent 
. Mamy więc w tym przypadku 
możliwości.
Razem mamy 
możliwości.
Odpowiedź: C
Informacje
Zadania
Losowe zadanie
