Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8377230

Pięcioro przyjaciół zamierza na przyjęciu dać sobie nawzajem prezenty w taki sposób, że każdy da tylko jednej osobie prezent, i każdy otrzyma prezent tylko od jednej osoby (oczywiście nikt nie daje prezentu sobie). Na ile sposobów można to zrobić?
A) 5 B) 10 C) 44 D) 50 E) 120

Wersja PDF
Rozwiązanie

Ustalmy jedną osobę, powiedzmy A . Może ona dać prezent na 4 sposoby. Niech B będzie osobą, która otrzymała prezent od A . Mamy teraz dwie istotnie różne sytuacje.

Jeżeli B daje prezent A , to C , D i E muszą dać sobie prezenty nawzajem – mogą to zrobić na dwa sposoby.


PIC


W sumie, w tej sytuacji, mamy 4 ⋅2 = 8 możliwości

Jeżeli B nie daje prezentu A , to daje jednej z pozostałych 3 osób. Każdy z tych wyborów jest równoważny, powiedzmy, że B daje prezent C .


PIC


Dalej, C może dać prezent na 3 sposoby i łatwo zobaczyć, że niezależenie od tego, której osobie daje prezent, osoby D i E nie mają już żadnego wyboru. Rzeczywiście, jeżeli C daje prezent A , to D i E muszą dać prezenty sobie nawzajem. Jeżeli natomiast C daje prezent np. D , to D musi dać E (bo E musi od kogoś dostać prezent) i E musi dać A . Podobnie jeżeli C daje prezent E . Mamy więc w tym przypadku 4⋅3 ⋅3 = 36 możliwości.

Razem mamy 36 + 8 = 44 możliwości.  
Odpowiedź: C

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!