Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2107839

Wyznacz największą wartość funkcji

 ∘ --------2----------2--- f(x) = 9− 4sin 2x − 8cos x− 3.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Na początku skorzystajmy ze wzoru

sin 2α = 2sin αco sα

aby pozbyć się sin 2x .

 ∘ ---------2----------2-- f (x) = ∘ 9-−-4-sin-2x-−-8-cos--x−--3 = = 9 − 1 6sin2x cos2 x− 8cos2 x− 3.

Sposób I

Ponieważ sin 2x = 1− co s2x możemy podstawić t = cos2x . Wtedy t ∈ [0 ,1] oraz

 ∘ ------------------- ∘ -------------- g (t) = 9− 16(1 − t)t− 8t − 3 = 16t2 − 24t+ 9− 3

Sprawdźmy jakie są miejsca zerowe trójmianu pod pierwiastkiem

Δ = 576 − 57 6 = 0.

Zatem pod pierwiastkiem jest pełen kwadrat:

 ∘ --------- 2 g (t) = (4t− 3) − 3 = |4t− 3| − 3.

Aby teraz ustalić jaka jest największa wartość tej funkcji na przedziale [0,1] szkicujemy jej wykres – Rozpoczynamy od prostej y = 4t− 3 i odbijamy część pod osią Ox do góry. Potem przesuwamy otrzymany wykres o 3 jednostki w dół.


PIC

Ze szkicowego rysunku widać, że wartość największa to albo g(0) albo g (1 ) . Która z tych wartości? – liczymy obie i porównujemy

g (0) = |− 3 |− 3 = 0 g (1) = |1|− 3 = − 2.

Zatem największa wartość to g(0) = 0 . Nie musimy tego robić, ale możemy zauważyć, że t = 0 odpowiada takim wartościom x , że co s2x = 0 , czyli punktom  π- x = 2 + kπ , gdzie k ∈ C .

Sposób II

Jak poprzednio dochodzimy do równości

 ∘ ----------------------------- f (x) = 9 − 1 6sin2x cos2 x− 8cos2 x− 3,

ale teraz podstawmy t = cosx . W szczególności, teraz t ∈ ⟨− 1,1⟩ .

∘ ---------------------- 2 2 2 ∘ ---4------2---- 9 − 16 (1− t )t − 8t − 3 = 16t − 24t + 9− 3

Pod pierwiastkiem mamy funkcję dwukwadratową, więc możemy podstawić s = t2 . Wtedy s ∈ ⟨0,1⟩ oraz

 ∘ --------------- g(s) = 1 6s2 − 2 4s+ 9 − 3 .

Wartość największą tej funkcji wyznaczamy dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: fmax = 0

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!