/Szkoła średnia/Funkcje/Trygonometryczna/Zbiór wartości

Zadanie nr 4354385

Wyznacz zbiór wartości funkcji: f (x) = cos 2x− 2sin x , gdzie x ∈ R .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

2 cos2α = 1− 2sin α.

Mamy więc

2 f(x) = c os2x − 2 sin x = 1− 2sin x − 2 sinx .

Jeżeli podstawimy teraz t = sin x to mamy zwykłą funkcję kwadratową

2 g (t) = −2t − 2t + 1.

Musimy teraz zbadać jakie ona przyjmuje wartości na przedziale ⟨− 1,1⟩ (bo takie wartości przyjmuje t = sinx ). Sprawdźmy najpierw gdzie jest wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g(t) .

−b-- 1- tw = 2a = − 2.

Ponieważ ramiona paraboli są skierowane w dół, oraz punkt ten jest w interesującym nas przedziale, dokładnie w tym punkcie otrzymamy największą wartość funkcji i jest ona równa

( 1 ) 1 3 g − -- = − -+ 1+ 1 = --. 2 2 2

Wartość najmniejszą otrzymamy w jednym z końców przedziału, w którym? - liczymy i sprawdzamy.

g (−1 ) = − 2+ 2+ 1 = 1 g (1) = − 2− 2+ 1 = − 3.

 
Odpowiedź: 3 ⟨− 3,2⟩

Wersja PDF