/Szkoła średnia/Funkcje/Trygonometryczna/Zbiór wartości

Zadanie nr 4924981

Wyznacz zbiór wartości funkcji

√ -- 2 2 f (x) = 2 − 2 3 sin x cosx − 3 sin x − cos x.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształćmy najpierw podany wzór funkcji. Będziemy korzystać ze wzorów

sin 2x = 2sin xcos x cos2x = 1 − 2sin2 x.

Aby móc skorzystać z drugiego z tych wzorów, zamienimy co s2x na sin2 x (z jedynki trygonometrycznej).

√ -- f (x) = 2 − 2 3 sin x cosx − 3 sin2x − cos2 x = √ -- = 2− 3 sin2x − 3sin2x − (1 − sin2 x) √ -- 2 = 1− 3 sin2x − 2sin x = −√ 3-sin2x + 1− 2 sin2x √ -- = − 3 sin2x + cos2x .

Przekształcimy dalej otrzymany wzór, korzystając z tożsamości

sin (x− y) = sin xcos y− sin y cosx .
√ -- − 3sin 2x+ cos2x = ( √ -- ) − 2 --3-sin2x − 1-cos2x = 2 2 ( ) − 2 cos π sin 2x − sin π-cos 2x = ( 6 ) 6 − 2sin 2x − π- 6

Widać teraz, że zbiór wartości danej funkcji, to przedział ⟨− 2,2 ⟩ .

Sposób II

Tak jak w poprzednim sposobie sprowadzamy funkcję do postaci

√ -- f(x) = − 3 sin2x + cos2x .

Aby znaleźć zbiór wartości funkcji f , zbadamy jej minima i maksima. W tym celu liczymy pochodną

√ -- f ′(x ) = − 2 3co s2x − 2 sin 2x

i szukamy jej miejsc zerowych. Pochodna nie jest równa 0 dla co s2x = 0 , więc możemy założyć, że cos2x ⁄= 0 .

√ -- − 2 3 cos 2x− 2sin 2x = 0 / : 2c os2x √ -- sin2x-- − 3 = cos2x √ -- − 3 = tg 2x

Widzimy więc, że miejsca zerowe pochodnej są w punktach π 2x = − -3 + kπ . Aby ustalić, gdzie są minima a gdzie maksima, musimy zbadać znak pochodnej. W tym celu zapiszmy ją w postaci

( ) √ -- √ -- sin-2x- − 2 3co s2x − 2 sin 2x = −2 cos 2x 3 + co s2x .

Można teraz sprawdzić, że jeżeli k jest parzyste to jest maksimum, a gdy k jest nieparzyste to jest minimum. Odpowiadające wartości f(x ) , to

√ -- ( π ) ( π ) − 3sin − -- + cos − -- = 2 √ -- ( 3) ( 3) − 3sin 2-π + cos 2π- = −2 . 3 3

Sposób III

Tym razem odrobinę inaczej przekształcimy wzór funkcji

√ -- 2 2 √ -- 2 2− 2 3sin xcos x − 3sin x− cos x = 2− ( 3sin x+ cosx ) = ( √ -- ) 2 ( ) = 2− 4 --3-sinx + 1co sx = 2 − 4 cos π-sin x+ sin π- cosx 2 = 2 2 6 6 ( ) = 2− 4sin2 π-+ x . 6

Ponieważ ( ) sin 2 π-+ x 6 przyjmuje wartości z przedziału ⟨0,1⟩ , funkcja f przyjmuje wartości z przedziału ⟨− 2,2⟩ .  
Odpowiedź: ⟨− 2,2⟩

Wersja PDF