/Szkoła średnia/Funkcje/Trygonometryczna/Zbiór wartości

Zadanie nr 9505802

Wyznacz zbiór wartości funkcji: f (x) = 2sin x + cos2x , gdzie x ∈ R .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

2 cos2α = 1− 2sin α.

Mamy więc

2 2 f (x) = 2sin x + cos 2x = 2 sin x + 1 − 2sin x = − 2 sin x + 2 sin x + 1.

Jeżeli podstawimy teraz t = sin x to mamy zwykłą funkcję kwadratową

g (t) = −2t2 + 2t + 1.

Musimy teraz zbadać jakie ona przyjmuje wartości na przedziale ⟨− 1,1⟩ (bo takie wartości przyjmuje t = sinx ). Sprawdźmy najpierw gdzie jest wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g(t) .

−b 1 tw = ----= -. 2a 2

Ponieważ ramiona paraboli są skierowane w dół, oraz punkt ten jest w interesującym nas przedziale, dokładnie w tym punkcie otrzymamy największą wartość funkcji i jest ona równa

( 1 ) 1 3 g -- = − -+ 1+ 1 = --. 2 2 2

Wartość najmniejszą otrzymamy w jednym z końców przedziału, w którym? - liczymy i sprawdzamy.

g(− 1) = − 2 − 2 + 1 = − 3 g(1) = − 2 + 2 + 1 = 1.

 
Odpowiedź: 3 ⟨− 3,2⟩

Wersja PDF