/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Hiperbola

Zadanie nr 5831161

Na hiperboli -1-- y = x− 2 + 1 wyznacz taki punkt C , który jest równoodległy od punktów A = (1,2) i B = (3,0) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku. Hiperbola --1- y = x− 2 + 1 powstaje z hiperboli y = 1x przez przesunięcie o wektor [2,1 ] .

PIC

Plan jest następujący: napiszemy równanie symetralnej odcinka AB i znajdziemy jej punkty wspólne z daną hiperbolą (widać, że będą dwa takie punkty).

Środek odcinka AB ma współrzędne 1+3- 2+-0- S = ( 2 , 2 ) = (2,1) . Teraz najłatwiej skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y0) :

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji → → v = AB = [2,− 2] , a punkt to środek S odcinka AB . Zatem symetralna odcinka AB ma równanie

2(x − 2) − 2(y − 1) = 0 / : 2 x − 2 − y + 1 = 0 ⇒ y = x − 1.

Pozostało znaleźć punkty wspólne tej prostej z daną hiperbolą.

x− 1 = --1---+ 1 x − 2 1 x = ------+ 2 / ⋅(x − 2) x − 2 x2 − 2x = 1 + 2x − 4 2 x − 4x + 3 = 0 Δ = 1 6− 12 = 4 x = 1 ∨ x = 3.

Daje to nam dwa punkty (1,0) i (3,2) (bo y = x − 1 ).  
Odpowiedź: C = (1,0) lub C = (3,2)

Wersja PDF