Okrąg o równaniu (x-1)^2+(y+2)^2=1 przecina jedną z gałęzi hiperboli... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Hiperbola, 7924049

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Geometria analityczna

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Hiperbola

Zadanie nr 7924049

Okrąg o równaniu $2 2 (x − 1 ) + (y + 2) = 1$ przecina jedną z gałęzi hiperboli o równaniu $f(x) = x2−2 − 1$ , gdzie $x ⁄= 2$ , w punktach $A (0,− 2)$ i $B(1,− 3)$ .

Narysuj obie krzywe we wspólnym układzie współrzędnych.
Na drugiej gałęzi hiperboli wyznacz współrzędne takiego punktu $C$ , który jest równo odległy od punktów $A$ i $B$ .

Rozwiązanie

Okrąg $2 2 (x − 1) + (y + 2) = 1$ ma środek w punkcie $(1,− 2)$ i promień 1. Hiperbola $f(x ) = x2−2-− 1$ powstaje ze zwykłej hiperboli $2x$ przez przesunięcie o wektor $[2,− 1]$ (czyli przesunięcie o dwie jednostki w prawo i jedną w dół). Korzystając z tych informacji możemy naszkicować rysunek.

Sposób I

Plan jest następujący. Wyliczymy symetralną odcinka $AB$ (czyli zbiór punktów, które są w równej odległości od $A$ i $B$ ) i znajdziemy jej punkt przecięcia z drugą gałęzią hiperboli.

Aby wyliczyć symetralną odcinka $AB$ , piszemy wektor $AB = [1,− 1]$ . Środek $S$ odcinka $AB$ jest równy

( 0 + 1 − 2− 3) ( 1 5 ) ------,------- = -,− -- . 2 2 2 2

Równanie prostej prostopadłej do wektora $[v1,v2]$ i przechodzącej przez punkt $(x0,y0)$ to

v1(x − x0) + v2(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

1- 5- (x − 2) − (y + 2 ) = 0 x − y − 3 = 0 y = x − 3.

Jeżeli ktoś nie chce korzystać z powyższego wzoru, to może zamiast niego napisać równanie prostej $AB$ , a potem prostej prostopadłej do $AB$ i przechodzącej przez punkt $S$ .

Pozostało rozwiązań układ równań

{ y = x2−-2 − 1 { y = x − 3 x− 3 = -2--− 1 x− 2 y = x − 3

co prowadzi do równania

(x − 2) = --2--- x− 2 2 (x − 2) = 2

Czyli $√ -- x = 2 + 2$ lub $√ -- x = − 2 + 2$ . Jeżeli punkt ma być na prawej gałęzi hiperboli, to musi spełniać $x > 2$ . Otrzymujemy stąd, że szukany punkt to $√ -- √ -- ( 2 + 2, 2 − 1)$ (bo $y = x − 3$ ).