Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7924049

Okrąg o równaniu  2 2 (x − 1 ) + (y + 2) = 1 przecina jedną z gałęzi hiperboli o równaniu f(x) = x2−2 − 1 , gdzie x ⁄= 2 , w punktach A (0,− 2) i B(1,− 3) .

  • Narysuj obie krzywe we wspólnym układzie współrzędnych.
  • Na drugiej gałęzi hiperboli wyznacz współrzędne takiego punktu C , który jest równo odległy od punktów A i B .
Wersja PDF
Rozwiązanie

Okrąg  2 2 (x − 1) + (y + 2) = 1 ma środek w punkcie (1,− 2) i promień 1. Hiperbola f(x ) = x2−2-− 1 powstaje ze zwykłej hiperboli 2x przez przesunięcie o wektor [2,− 1] (czyli przesunięcie o dwie jednostki w prawo i jedną w dół). Korzystając z tych informacji możemy naszkicować rysunek.


PIC


Sposób I

Plan jest następujący. Wyliczymy symetralną odcinka AB (czyli zbiór punktów, które są w równej odległości od A i B ) i znajdziemy jej punkt przecięcia z drugą gałęzią hiperboli.

Aby wyliczyć symetralną odcinka AB , piszemy wektor AB = [1,− 1] . Środek S odcinka AB jest równy

( 0 + 1 − 2− 3) ( 1 5 ) ------,------- = -,− -- . 2 2 2 2

Równanie prostej prostopadłej do wektora [v1,v2] i przechodzącej przez punkt (x0,y0) to

v1(x − x0) + v2(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

 1- 5- (x − 2) − (y + 2 ) = 0 x − y − 3 = 0 y = x − 3.

Jeżeli ktoś nie chce korzystać z powyższego wzoru, to może zamiast niego napisać równanie prostej AB , a potem prostej prostopadłej do AB i przechodzącej przez punkt S .

Pozostało rozwiązań układ równań

{ y = x2−-2 − 1 { y = x − 3 x− 3 = -2--− 1 x− 2 y = x − 3

co prowadzi do równania

(x − 2) = --2--- x− 2 2 (x − 2) = 2

Czyli  √ -- x = 2 + 2 lub  √ -- x = − 2 + 2 . Jeżeli punkt ma być na prawej gałęzi hiperboli, to musi spełniać x > 2 . Otrzymujemy stąd, że szukany punkt to  √ -- √ -- ( 2 + 2, 2 − 1) (bo y = x − 3 ).

Sposób II

Tym razem przyjmijmy, że C = (x,y) i sprawdzimy kiedy AC = BC . Ponieważ punkt C leży na hiperboli, mamy

 2 4− x y = ------− 1 = -----. x − 2 x− 2

Sprawdźmy teraz kiedy AC = BC . Od razu porównujemy kwadraty odległości.

 ( ) 2 ( ) 2 x2 + 4−--x-+ 2 = (x − 1)2 + 4-−-x-+ 3 x − 2 x − 2 ( ) 2 ( ) 2 x2 − (x − 1)2 = 4-−-x-+ 3 − 4-−-x-+ 2 x − 2 x − 2 ( 4 − x 4− x ) ( 4 − x 4− x ) (x − (x − 1))(x + x − 1) = ------+ 3− ------− 2 ------+ 3 + ------+ 2 x − 2 x− 2 x − 2 x− 2 4-−-x- 2x − 1 = 2 ⋅x − 2 + 5 / ⋅(x − 2) 2 2x − x − 4x + 2 = 8− 2x + 5x − 10 2x2 − 8x + 4 = 0 x2 − 4x + 2 = 0 Δ = 16− 8 = 8 √ -- √ -- 4-−-2---2 √ -- 4-+-2--2- √ -- x = 2 = 2 − 2 ∨ x = 2 = 2+ 2.

Jak w poprzednim sposobie zauważamy, że musi być  √ -- x = 2 + 2 . Stąd

 √ -- √ -- y = 4−--x-= 4−--2√−----2-= 2---2−-2-= √ 2-− 1. x − 2 2 2

 
Odpowiedź:  √ -- √ -- ( 2 + 2, 2 − 1)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!