Zadanie nr 2516655
Prosta przecina okrąg o środku
w punktach
i
, przy czym
. Wyznacz równanie prostej
.
Rozwiązanie
Wiemy, że punkt leży na okręgu o środku
, więc promień
tego okręgu jest równy
![∘ --------------------- √ ------ √ --- r = SA = (3− 2)2 + (− 2− 1 )2 = 1+ 9 = 10.](https://img.zadania.info/zad/2516655/HzadR3x.png)
Możemy teraz wykonać szkicowy rysunek.
Jeżeli jest rzutem punktu
na odcinek
, to
![∘ --------------- ∘ ------------ ( 1 ) 2 √ ------- √ -- SD = SA 2 − AD 2 = r2 − --AB = 10 − 5 = 5 . 2](https://img.zadania.info/zad/2516655/HzadR8x.png)
Z rysunku widać, że będą dwie proste spełniające warunki zdania. Łatwo też sprawdzić, że pionowa cięciwa przechodząca przez jest dłuższa niż
. Każda prosta, która przechodzi przez
, i która nie jest pionowa ma równanie postaci.
![y = a(x − 3 )− 2 y− ax + 3a + 2 = 0 .](https://img.zadania.info/zad/2516655/HzadR12x.png)
dla pewnego . Sprawdzimy teraz dla jakich wartości
odległość punktu
od prostej tej postaci jest równa
. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu
od prostej
:
![|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2](https://img.zadania.info/zad/2516655/HzadR19x.png)
W naszej sytuacji mamy
![|1-−-2a-+-3a-+-2|- √ -- ∘ ------2 √ -----2 = 5 / ⋅ 1 + a 1 + a ∘ -------- |3+ a| = 5 + 5a2 / ()2 2 2 9 + 6a + a = 5+ 5a 0 = 4a2 − 6a− 4 / : 2 0 = 2a2 − 3a− 2.](https://img.zadania.info/zad/2516655/HzadR20x.png)
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
![Δ = 9 + 16 = 25 3 − 5 1 3+ 5 a = ------= − -- lub a = ------= 2. 4 2 4](https://img.zadania.info/zad/2516655/HzadR21x.png)
Otrzymujemy więc dwie proste
![1 3 1 1 y = ax − 3a − 2 = − -x + --− 2 = − -x − -- 2 2 2 2 y = ax − 3a − 2 = 2x − 6− 2 = 2x − 8 .](https://img.zadania.info/zad/2516655/HzadR22x.png)
Odpowiedź: lub