/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Punkty wspólne z prostą

Zadanie nr 2516655

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Prosta k przecina okrąg o środku S = (2,1) w punktach A = (3,− 2) i B , przy czym √ -- |AB | = 2 5 . Wyznacz równanie prostej k .

Rozwiązanie

Wiemy, że punkt A leży na okręgu o środku S , więc promień r tego okręgu jest równy

∘ --------------------- √ ------ √ --- r = SA = (3− 2)2 + (− 2− 1 )2 = 1+ 9 = 10.

Możemy teraz wykonać szkicowy rysunek.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli D jest rzutem punktu S na odcinek AB , to

∘ --------------- ∘ ------------ ( 1 ) 2 √ ------- √ -- SD = SA 2 − AD 2 = r2 − --AB = 10 − 5 = 5 . 2

Z rysunku widać, że będą dwie proste spełniające warunki zdania. Łatwo też sprawdzić, że pionowa cięciwa przechodząca przez A jest dłuższa niż 2√ 5- . Każda prosta, która przechodzi przez A = (3 ,− 2 ) , i która nie jest pionowa ma równanie postaci.

y = a(x − 3 )− 2 y− ax + 3a + 2 = 0 .

dla pewnego a ∈ R . Sprawdzimy teraz dla jakich wartości a odległość punktu S = (2,1) od prostej tej postaci jest równa √ -- SD = 5 . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy

|1-−-2a-+-3a-+-2|- √ -- ∘ ------2 √ -----2 = 5 / ⋅ 1 + a 1 + a ∘ -------- |3+ a| = 5 + 5a2 / ()2 2 2 9 + 6a + a = 5+ 5a 0 = 4a2 − 6a− 4 / : 2 0 = 2a2 − 3a− 2.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Δ = 9 + 16 = 25 3 − 5 1 3+ 5 a = ------= − -- lub a = ------= 2. 4 2 4

Otrzymujemy więc dwie proste

1 3 1 1 y = ax − 3a − 2 = − -x + --− 2 = − -x − -- 2 2 2 2 y = ax − 3a − 2 = 2x − 6− 2 = 2x − 8 .

 
Odpowiedź: y = − 1x− 1 2 2 lub y = 2x − 8

Wersja PDF