/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Punkty wspólne z prostą

Zadanie nr 2806034

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Napisz równanie okręgu o środku S(1,1) , który na prostej o równaniu x − y + 4 = 0 odcina cięciwę AB długości √ -- 2 2 . Wykonaj rysunek.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy rzut punktu S na daną prostą przez D .

PIC

To co musimy wyliczyć, to promień r szukanego okręgu. Wyliczymy go z trójkąta prostokątnego ADS . Jedna z jego przyprostokątnych to połowa cięciwy AB , a druga to odległość punktu S od danej prostej.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy

√ -- DS = √-|4|---= 2 2. 1+ 1

Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta ADS mamy

AS 2 = AD 2 + DS 2 2 √ --2 √ --2 r = ( 2) + (2 2) = 10.

Teraz, bez problemu piszemy równanie poszukiwanego okręgu

2 2 (x − 1) + (y − 1) = 10.

 
Odpowiedź: (x − 1)2 + (y − 1)2 = 10

Wersja PDF