/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Punkty wspólne z prostą

Zadanie nr 4568702

Końce cięciwy AB okręgu o równaniu 2 2 (x + 2) + (y − 4) = 25 leżą na prostej x − 3y + 9 = 0 . Oblicz sinus kąta wypukłego ASB , gdzie S jest środkiem danego okręgu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Na początek wyznaczmy współrzędne punktów A i B – podstawiamy x = 3y− 9 do równania okręgu.

(3y − 9 + 2)2 + (y− 4)2 = 25 2 2 (3y − 7) + (y − 4) = 25 9y2 − 42y + 49 + y 2 − 8y + 1 6 = 25 2 10y − 50y + 4 0 = 0 / : 10 y2 − 5y + 4 = 0 Δ = 25− 16 = 9 5 − 3 5+ 3 y = ------= 1 ∨ y = ------= 4. 2 2

Mamy wtedy odpowiednio x = 3y− 9 = 3 − 9 = − 6 i x = 3y − 9 = 3 . Zatem A = (− 6,1) i B = (3,4) .

Sposób I

Obliczmy pole trójkąta ASB (żeby ze wzoru na pole z sinusem wyliczyć sin ∡ASB ). Jego podstawa ma długość

∘ ------------------- √ ------- √ --- √ --- AB = (3+ 6)2 + (4− 1)2 = 81 + 9 = 9 0 = 3 10.

Wysokość opuszczona na tę podstawę to odległość punktu S = (− 2,4) od prostej AB , czyli

√ --- h = |−-2√−-3-⋅4-+-9|-= √5---= --10. 1 + 9 10 2

Zatem pole trójkąta jest równe

√ --- 1- 1- √ --- ---10 1-5 P = 2 AB ⋅ h = 2 ⋅3 1 0⋅ 2 = 2 .

Teraz korzystamy ze wzoru na pole z sinusem.

15- 1- 2 = P = 2 SA ⋅SB ⋅sin ∡ASB 15 3 sin ∡ASB = -2-= -. 5 5

Sposób II

Tak jak w poprzednim sposobie obliczamy odległość punktu S od prostej AB .

√ --- |− 2 − 3 ⋅4 + 9| 5 10 h = ----√------------= √----= ----. 1 + 9 10 2

Mamy zatem

√ -- --- h --10 √ 10 cos α = ----= --2- = ----. AS 5 10

Stąd

∘ ---------- ∘ -------- √ --- sin α = 1− cos2α = 1 − -10-= 3--10-. 100 10

Teraz pozostało skorzystać ze wzoru na sin2α .

√ --- √ --- sin2α = 2sin αco sα = 2⋅ 3--10 ⋅--10-= 3. 10 10 5

Zauważmy, że w tym sposobie nie były nam potrzebne współrzędne punktów A i B .

Sposób III

Pole trójkąta ABS możemy obliczyć ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA ,yA ) , B = (xB ,yB) i C = (xC ,yC ) .

PABC = 1-|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|. 2

W naszej sytuacji mamy

1 1 15 PABS = 2-|(3 + 6)(4 − 1) − (4 − 1)(− 2 + 6)| = 2-|2 7− 1 2| = 2-.

Sinus obliczamy jak w poprzednim sposobie.

Sposób IV

Liczymy długość odcinka AB

∘ ------------------- 2 2 √ ------- √ --- √ --- AB = (3+ 6) + (4− 1) = 81 + 9 = 9 0 = 3 10.

Jeżeli więc przez M oznaczymy środek odcinka AB to √ -- AM = 3-210- . Dorysujmy wysokość SM i oznaczmy ∡ASM = ∡MSB = 2α . Na mocy twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AMS mamy

∘ -------- ∘ -- --- ∘ ------------- 45 5 √ 10 SM = AS 2 − AM 2 = 25− ---= --= ----. 2 2 2

Mamy więc

3√-10 √ --- sin α = AM---= --2-- = 3--1-0 SA 5 10 √-10 √ --- co sα = SM--= -2--= --10-. SA 5 10

Teraz pozostało skorzystać ze wzoru na sin2α .

√ --- √ --- sin ∡ASB = sin 2α = 2 sinα cos α = 2 ⋅ 3-10-⋅---10 = 3-. 10 1 0 5

Sposób V

Liczymy długość odcinka AB

∘ ------------------- √ ------- √ --- √ --- AB = (3+ 6)2 + (4− 1)2 = 81 + 9 = 9 0 = 3 10.

Teraz korzystamy z twierdzenia cosinusów.

2 2 2 AB = SA + SB − 2SA ⋅SB cos ∡ASB AB 2 = 2SA 2 − 2SA 2cos ∡ASB 2 2 AB = 2SA (1− cos∡ASB ) 90 = 5 0(1− cos∡ASB ) / : 50 9-= 1− cos∡ASB 5 4- co s∡ASB = − 5.

Zatem

∘ ------- ∘ --------------- 16 3 sin∡ASB = 1 − co s2∡ASB = 1− 25-= 5.

 
Odpowiedź: 3 5

Wersja PDF