/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Punkty wspólne z prostą

Zadanie nr 5591448

Punkty A i B są punktami wspólnymi prostej o równaniu x − 2y + 6 = 0 oraz okręgu o środku S = (1,1) . Długość odcinka AB jest równa √ -- 4 5 . Wyznacz współrzędne punktów A i B .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zauważmy, że z trójkąta prostokątnego AST dość łatwo możemy wyznaczyć długość promienia r okręgu, o którym mowa w treści zadania. Zanim to jednak zrobimy, obliczmy odległość d punktu S od danej prostej

|1− 2+ 6| 5 √ -- d = --√--------= √---= 5. 1+ 4 5

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AST .

2 2 2 √ --2 √ --2 r = d + (AT ) = ( 5) + (2 5) = 5 + 20 = 25.

Zatem r = 5 i dany okrąg ma równanie

2 2 (x − 1) + (y − 1) = 25.

Szukamy teraz punktów A ,B wspólnych tego okręgu i danej prostej. Podstawiamy x = 2y − 6 do równania okręgu.

2 2 2 2 25 = (2y − 6 − 1) + (y − 1) = (2y − 7) + (y − 1) = = 4y2 − 28y + 4 9+ y2 − 2y + 1 = 5y2 − 30y + 50 / : 5 2 0 = y − 6y + 5 Δ = 36 − 20 = 16 y = 6-−-4-= 1 lub y = 6-+-4-= 5. 2 2

Mamy wtedy x = 2y − 6 = − 4 i x = 2y − 6 = 4 odpowiednio. Punkty A i B mają więc współrzędne (niekoniecznie w tej kolejności): (−4 ,1) i (4,5) .  
Odpowiedź: (− 4,1) i (4,5)

Wersja PDF