Zadanie nr 6554210

Środki okręgów i znajdują się po różnych stronach prostej y = − 3x + 2 , która zawiera punkty wspólne tych okręgów. Wiedząc, że promień okręgu jest równy √ -- 7 2 oraz, że okrąg ma równanie (x+ 1)2 + (y− 3)2 = 20 , wyznacz równanie okręgu o 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

Na początku wyznaczmy punkty wspólne podanych: okręgu i prostej. Podstawiamy y = − 3x + 2 do równania okręgu.

(x+ 1)2 + (− 3x+ 2− 3)2 = 20 2 2 (x+ 1) + (− 3x− 1) = 20 x2 + 2x + 1 + 9x2 + 6x + 1 = 20 2 10x + 8x − 18 = 0 / : 4 5 2 9 -x + 2x − --= 0 2 2 Δ = 4+ 4 5 = 49 − 2 − 7 9 − 2 + 7 x = ---5--- = − 5- ∨ x = ---5--- = 1 .

Stąd y = 37 5 i y = − 1 odpowiednio. Zatem punkty przecięcia to A = (− 9 , 37) 5 5 oraz B = (1,− 1) .

Kolejna rzecz, którą możemy zrobić, to napisać równanie prostej O 1O 2 przechodzącej przez środki obu okręgów. Prosta ta musi być prostopadła do danej prostej y = − 3x + 2 oraz musi przechodzić przez punkt O 1 = (− 1,3 ) . Szukamy zatem prostej postaci y = 1x+ b 3 – współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu O 1 .

1 10 3 = − -+ b ⇒ b = --. 3 3

Zatem prosta O O 1 2 ma równanie y = 1x+ 10 3 3 i pozostało znaleźć na niej punkt O 2 , który jest odległy od punktu B = (1 ,−1 ) o √ -- 7 2 . Powiedzmy, że szukany punkt to ( ) O2 = (x ,y) = x , 1x + 10 3 3 . Mamy zatem