/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Punkty wspólne z prostą

Zadanie nr 6692970

Oblicz długość cięciwy, którą wycina z prostej 2y − x− 16 = 0 okrąg o środku w punkcie (− 5,3 ) i promieniu 5.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Sposób I

Równanie okręgu, o którym mowa w treści zadania, ma postać

(x+ 5)2 + (y − 3 )2 = 52.

Aby wyznaczyć jego punkty wspólne z podaną prostą podstawiamy w powyższym równaniu x = 2y − 16 .

(2y − 16 + 5)2 + (y− 3)2 = 25 2 2 (2y − 11) + (y − 3) = 25 4y2 − 44y + 121 + y 2 − 6y + 9 = 25 5y2 − 50y + 105 = 0 / : 5 2 y − 10y + 21 = 0 Δ = 100− 84 = 16 = 42 y = 10-−-4-= 3 ∨ y = 10-+-4-= 7 . 2 2

Mamy wtedy odpowiednio x = 2y− 16 = − 10 i x = 2y− 16 = − 2 . Zatem końce interesującej nas cięciwy to A = (− 10 ,3) i B = (− 2,7) . Pozostało obliczyć długość odcinka AB .

∘ ---------------------- √ -------- √ -- AB = (− 2 + 10)2 + (7 − 3)2 = 64 + 16 = 4 5.

Sposób II

Jeżeli przez K oznaczmy środek cięciwy AB to trójkąt AKS jest prostokątny i wystarczy obliczyć długość przyprostokątnej AK . Wiemy, że AS = 5 , a długość odcinka SK to odległość punktu S od prostej AB . Zatem

|6-+-5-−-16| -5-- √ -- SK = √ ------ = √ --= 5. 4+ 1 5

Mamy więc

∘ ---2------2 √ ------- √ --- √ -- AB = 2AK = 2 AS − SK = 2 25 − 5 = 2 20 = 4 5.

 
Odpowiedź: √ -- 4 5

Wersja PDF