Zadanie nr 6692970
Oblicz długość cięciwy, którą wycina z prostej okrąg o środku w punkcie
i promieniu 5.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Sposób I
Równanie okręgu, o którym mowa w treści zadania, ma postać
![(x+ 5)2 + (y − 3 )2 = 52.](https://img.zadania.info/zad/6692970/HzadR1x.gif)
Aby wyznaczyć jego punkty wspólne z podaną prostą podstawiamy w powyższym równaniu .
![(2y − 16 + 5)2 + (y− 3)2 = 25 2 2 (2y − 11) + (y − 3) = 25 4y2 − 44y + 121 + y 2 − 6y + 9 = 25 5y2 − 50y + 105 = 0 / : 5 2 y − 10y + 21 = 0 Δ = 100− 84 = 16 = 42 y = 10-−-4-= 3 ∨ y = 10-+-4-= 7 . 2 2](https://img.zadania.info/zad/6692970/HzadR3x.gif)
Mamy wtedy odpowiednio i
. Zatem końce interesującej nas cięciwy to
i
. Pozostało obliczyć długość odcinka
.
![∘ ---------------------- √ -------- √ -- AB = (− 2 + 10)2 + (7 − 3)2 = 64 + 16 = 4 5.](https://img.zadania.info/zad/6692970/HzadR9x.gif)
Sposób II
Jeżeli przez oznaczmy środek cięciwy
to trójkąt
jest prostokątny i wystarczy obliczyć długość przyprostokątnej
. Wiemy, że
, a długość odcinka
to odległość punktu
od prostej
. Zatem
![|6-+-5-−-16| -5-- √ -- SK = √ ------ = √ --= 5. 4+ 1 5](https://img.zadania.info/zad/6692970/HzadR18x.gif)
Mamy więc
![∘ ---2------2 √ ------- √ --- √ -- AB = 2AK = 2 AS − SK = 2 25 − 5 = 2 20 = 4 5.](https://img.zadania.info/zad/6692970/HzadR19x.gif)
Odpowiedź: