Oblicz długość cięciwy, którą wycina z prostej 2y-x-16=0 okrąg... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Punkty wspólne z prostą, 6692970

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Okrąg

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Punkty wspólne z prostą

Zadanie nr 6692970

Oblicz długość cięciwy, którą wycina z prostej $2y − x− 16 = 0$ okrąg o środku w punkcie $(− 5,3 )$ i promieniu 5.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Sposób I

Równanie okręgu, o którym mowa w treści zadania, ma postać

(x+ 5)2 + (y − 3 )2 = 52.

Aby wyznaczyć jego punkty wspólne z podaną prostą podstawiamy w powyższym równaniu $x = 2y − 16$ .

(2y − 16 + 5)2 + (y− 3)2 = 25 2 2 (2y − 11) + (y − 3) = 25 4y2 − 44y + 121 + y 2 − 6y + 9 = 25 5y2 − 50y + 105 = 0 / : 5 2 y − 10y + 21 = 0 Δ = 100− 84 = 16 = 42 y = 10-−-4-= 3 ∨ y = 10-+-4-= 7 . 2 2

Mamy wtedy odpowiednio $x = 2y− 16 = − 10$ i $x = 2y− 16 = − 2$ . Zatem końce interesującej nas cięciwy to $A = (− 10 ,3)$ i $B = (− 2,7)$ . Pozostało obliczyć długość odcinka $AB$ .

∘ ---------------------- √ -------- √ -- AB = (− 2 + 10)2 + (7 − 3)2 = 64 + 16 = 4 5.

Sposób II

Jeżeli przez $K$ oznaczmy środek cięciwy $AB$ to trójkąt $AKS$ jest prostokątny i wystarczy obliczyć długość przyprostokątnej $AK$ . Wiemy, że $AS = 5$ , a długość odcinka $SK$ to odległość punktu $S$ od prostej $AB$ . Zatem