/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Punkty wspólne z prostą

Zadanie nr 7371486

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Prosta o równaniu 3x − 4y− 36 = 0 przecina okrąg o środku S = (3,12) w punktach A i B . Długość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy rzut punktu S na daną prostą przez D .

PIC

To co musimy obliczyć, to promień r szukanego okręgu. Obliczymy go z trójkąta prostokątnego ADS . Jedna z jego przyprostokątnych to połowa cięciwy AB , a druga to odległość punktu S od danej prostej.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy

DS = |9−√-4-8−--36|= 75-= 15. 9 + 16 5

Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta ADS mamy

AD 2 + DS 2 = AS 2 2 2 2 2 0 + 15 = r 6 25 = r2.

Teraz, bez problemu piszemy równanie poszukiwanego okręgu

(x − 3 )2 + (y − 12)2 = 625.

 
Odpowiedź: 2 2 (x − 3) + (y − 12) = 6 25

Wersja PDF