Zadanie nr 8985142

Dane są okrąg o równaniu 2 2 (x − 6) + (y − 4) = 9 8 oraz okrąg o promieniu √ -- 2 5 . Środki okręgów i leżą po różnych stronach prostej o równaniu y = − 3x − 6 , a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej . Wyznacz równanie okręgu o 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

Na początku wyznaczmy punkty wspólne podanych: okręgu i prostej. Podstawiamy y = − 3x − 6 do równania okręgu.

(x − 6)2 + (− 3x − 6 − 4)2 = 98 2 2 (x − 6) + (− 3x − 10) = 9 8 x2 − 12x + 3 6+ 9x2 + 60x + 100 = 98 2 10x + 4 8x+ 38 = 0 / : 4 5 2 19 --x + 12x + ---= 0 2 2 Δ = 144 − 95 = 49 − 12− 7 1 9 − 12+ 7 x = ---------= − --- ∨ x = ---------= − 1. 5 5 5

Stąd y = 27 5 i y = − 3 odpowiednio. Zatem punkty przecięcia to ( ) A = − 19, 27 5 5 oraz B = (− 1,− 3) .

Kolejna rzecz, którą możemy zrobić, to napisać równanie prostej O 1O 2 przechodzącej przez środki obu okręgów. Prosta ta musi być prostopadła do danej prostej y = − 3x − 6 oraz musi przechodzić przez punkt O1 = (6 ,4) . Szukamy zatem prostej postaci 1 y = 3x+ b – współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu O 1 .

4 = 2+ b ⇒ b = 2.

Zatem prosta O 1O2 ma równanie y = 13x+ 2 i pozostało znaleźć na niej punkt O 2 , który jest odległy od punktu B = (− 1 ,− 3 ) o √ -- 2 5 . Powiedzmy, że szukany punkt to ( 1 ) O2 = (x,y) = x ,3x + 2 . Mamy zatem