/Konkursy/Zadania testowe/Nierówności/Przy ustalonej sumie

Zadanie nr 9308146

Niech x ≥ y ≥ z będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y + z = 20 . Które z poniższych zdań jest prawdziwe?
A) Zawsze x ⋅y < 99
B) Zawsze x ⋅y > 1
C) Zawsze x ⋅y ⁄= 25
D) Zawsze x ⋅y ⁄= 75
E) Żadne z poprzednich zdań nie jest prawdziwe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zastanówmy się kolejno nad każdym z warunków.

A) Liczby x i y możemy wziąć dowolnie bliskie 10 i wtedy x ⋅y będzie dowolnie bliskie 100, np. x = 1 0 , y = 9,9 , z = 0,1 to x⋅ y = 99 .

B) Jeżeli x weźmiemy bardzo bliskie 20, to y będzie dowolnie małe. Np. x = 19,98 , y = z = 0,01 , to x ⋅y = 0,1998 .

C) Łatwo znaleźć kontrprzykład, np. x = 18 , 25 y = 18 , 25 z = 20− 18− 18 .

D) Jak poprzednio, np. x = 10 , y = 7,5 , z = 2 ,5 .

 
Odpowiedź: E

Wersja PDF