/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 1653463

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest kwadrat ABCD , w którym ( 5) A = 5,− 3 . Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu y = 43x . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku

PIC

Przekątna AC jest zawarta w prostej prostopadłej do prostej BD , więc ma równanie postaci y = − 34x+ b . Ponadto przechodzi przez punkt A , więc

5- 3- 15- 5- 25- − 3 = − 4 ⋅5 + b ⇒ b = 4 − 3 = 12 .

Prosta AC ma więc równanie y = − 3 x+ 25 4 12 . Szukamy teraz jest punktu wspólnego S z przekątną BD .

{ y = 4x 3 3 25 y = − 4x + 12.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

0 = 4x + 3x − 25- / ⋅12 3 4 12 25 = 16x + 9x = 25x ⇒ x = 1.

Stąd y = 4 x = 4 3 3 i ( ) S = 1, 4 3 .

Jeżeli oznaczymy przez a długość boku kwadratu, to mamy

√ -- ∘ -----------(-------)-2 a--2- AC-- 2 4- 5- √ ------- 2 = 2 = AS = (1 − 5) + 3 + 3 = 16+ 9 = 5 a = 5⋅ √2--= √10-. 2 2

Pole kwadratu ABCD jest więc równe

2 100 a = ----= 50. 2

 
Odpowiedź: ( 4 ) S = 1,3 , PABCD = 50

Wersja PDF