/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 1716516

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Końcami odcinka są punkty o współrzędnych A = (− 1,− 2) oraz B = (3,6) . Odcinek CD jest obrazem odcinka AB zarówno w jednokładności o dodatniej skali i środku S1 = (− 5,2) , jak i w jednokładności o ujemnej skali i środku S = (3,2) 2 . Oblicz współrzędne końców odcinka CD oraz skalę jednokładności o środku S2 .

Rozwiązanie

Zacznijmy od naszkicowania sytuacji.

PIC

Ponieważ odcinek CD jest obrazem AB w jednokładności o środku S 1 , punkty S1,A ,C oraz S 1,B,D leżą na jednej prostej. Podobnie uzasadniamy, że punkty S ,A ,D 2 i S ,B ,C 2 leżą na jednej prostej (przy kolejności punktów ważne jest, że S1 ma skalę dodatnią, a S 2 ujemną!). Widzimy zatem jak wyznaczyć punkty C i D – musimy znaleźć punkty wspólne prostych S1A i BS 2 oraz S1B i AS 2 . Aby trochę urozmaicić rozwiązanie, my wyznaczymy w ten sposób tylko współrzędne punktu C . Potem wyliczymy skalę k 2 jednokładności o środku S 2 i punkt D wyznaczymy z równości → → S 2D = k2S2A .

Aby napisać równania prostych, będziemy korzystać ze wzoru na prostą przechodzącą przez punkty A = (x ,y ) A A i B = (x ,y ) B B :

(y− y )(x − x ) − (y − y )(x− x ) = 0. A B A B A A

Mamy zatem

S A : (y − 2)(− 1 + 5) − (− 2 − 2)(x + 5) = 0 1 BS2 : (y − 6)(3 − 3) − (2 − 6)(x − 3) = 0.

Po uproszczeniu

S 1A : y = −x − 3 BS2 : x = 3.

Mamy zatem C = (3 ,−6 ) .

Aby wyznaczyć skalę podobieństwa k2 , wyliczamy

→ → S2B = [0,4] ⇒ |S2B| = 4 → → S2C = [0,− 8] ⇒ |S 2C| = 8.

Zatem k2 = − 2 . Punkt D = (x,y ) liczymy z równości → → S2D = k2S2A .

→ S2A = [− 4,− 4] → S2D = [x− 3,y − 2].

Mamy zatem równanie

[x− 3,y − 2] = − 2[− 4,− 4] = [8 ,8 ].

Stąd x = 11 i y = 10 .  
Odpowiedź: C = (3,− 6) , D = (1 1,10) , k2 = − 2 .

Wersja PDF