Zadanie nr 1908686

Punkt A (− 1;− 2) jest wierzchołkiem rombu, którego jeden z boków zawiera się w prostej o równaniu x − 2y − 3 = 0 . Środkiem symetrii tego rombu jest punkt S(2;2) . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu i oblicz jego pole.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.

Od razu zauważamy, że punkt leży na podanej prostej. Od ręki możemy wyznaczyć współrzędne punktu (bo jest środkiem odcinka ). Mamy

1- 2 = xS = 2 (− 1+ xC) ⇒ xC = 5 1 2 = yS = --(− 2+ yC) ⇒ yC = 6. 2

Zatem C = (5,6) . Co do kolejnych wierzchołków, to jest kilka możliwości, ale najprościej jest skorzystać z tego, że przekątne rombu są prostopadłe. Zatem możemy łatwo napsać równanie przekątnej – jest to prosta przechodząca przez i prostopadła do prostej . Skorzystamy z niezwykle wygodnego wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x ,y ) 0 0 i prostopadłej do wektora → v = [p,q]