/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 1919544

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dane są punkty ( 1) A = 0 ,− 8 3 i ( 1) B = 0 ,23 . Wyznacz na prostej k : y = 3x+ 13 punkt C , tak aby |AC | = |BC | . Dla wyznaczonego punktu C:

  • wykaż, że trójkąt ABC jest prostokątny;
  • wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC .

Rozwiązanie

Możemy rozpocząć od szkicowego rysunku.

PIC

  •  

    Sposób I

    Równość AC = BC oznacza, że punkt C leży na symetralnej odcinka AB . Ponieważ punkty te leżą na osi Oy łatwo napisać równanie tej symetralnej – jest to pozioma prosta przechodząca przez środek S odcinka AB , czyli prosta

    − 81 + 2 1 y = ---3-----3 = −-6-= − 3. 2 2

    Szukamy teraz punktu wspólnego tej prostej z daną prostą.

    − 3 = 3x + 13 − 16 = 3x 16 x = − --. 3

    Zatem ( 16 ) C = − 3-,− 3 .

    Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny (AC = BC ), jego przeciwprostokątną musi być odcinek AB . Sprawdźmy, czy rzeczywiście AB 2 = AC 2 + BC 2 .

    ( ) 2 ( )2 AC 2 = − 16-− 0 + − 3 + 81- = 256-+ 2-56 = 5-12. 3 3 9 9 9 ( ) 2 ( )2 AB 2 = (0 − 0 )2 + 21-+ 81- = 32- = 1024-= 2AC 2 = AC 2 + BC 2. 3 3 3 9

    Sposób II

    Szukamy punktu C w postaci C = (x,3x + 13) .

    2 2 AC = BC 2 ( 25 )2 2 ( 7) 2 (x − 0) + 3x + 13 + --- = (x− 0) + 3x + 1 3− -- ( ) ( 3 ) 3 25 2 7 2 3x + 13 + --- = 3x + 13 − -- 3 3 ( ) 25- 7- 25- 7- 3x + 13 + 3 = 3x + 1 3− 3 ∨ 3x + 1 3+ 3 = − 3x + 13− 3 25-= − 7- ∨ 6x+ 26+ 18-= 0. 3 3 3

    Pierwsze równanie jest sprzeczne, a z drugiego mamy

    6x = − 32 / : 6 16- x = − 3 .

    Stąd y = 3x + 13 = −1 6+ 13 = − 3 i ( ) C = − 16,− 3 3 . Równość AB 2 = AC 2 + BC 2 uzasadniamy jak w poprzednim sposobie.  
    Odpowiedź: ( ) 16 C = − 3 ,− 3

  • Środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek jego przeciwprostokątnej, czyli punkt
    ( 1 1 ) S = 0-+-0-, −-83-+-23 = (0,− 3). 2 2

    Jego promień to odległość środka od jednego z wierzchołków, np.

    ∘ ------ 1 1 1024 1 32 16 r = SA = -AB = -- -----= --⋅---= ---. 2 2 9 2 3 3

    Okrąg opisany na trójkącie ABC ma więc równanie:

    256 x2 + (y + 3)2 = ---. 9

     
    Odpowiedź: x2 + (y+ 3)2 = 2596

Wersja PDF