Zadanie nr 1980874

Znajdź taki punkt , leżący na prostej y = x − 1 , aby pole trójkąta ABC , którego wierzchołkami są punkty: C,A (2,1),B (5,2) było równe 5.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Z podanej informacji o równaniu prostej, na której leży punkt wiemy, że ma on współrzędne postaci C = (x ,x − 1) .

Sposób I

Korzystamy teraz ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA,yA ) , B = (xB,yB ) i C = (xC ,yC) .

P = 1-|(x − x )(y − y ) − (y − y )(x − x )|. ABC 2 B A C A B A C A

W naszej sytuacji mamy

1 5 = --|(5 − 2)(x − 1 − 1 )− (2 − 1)(x − 2 )| 2 1- 5 = 2 |3x − 6− x + 2| 5 = |x− 2| 5 = x − 2 ∨ − 5 = x− 2 x = 7 ∨ x = − 3.

Zatem C = (7,6) lub C = (− 3,− 4) .

Sposób II

Tym razem obliczmy pole trójkąta wprost, ze wzoru 1 P = 2ah . Liczymy długość podstawy trójkąta

∘ ------------------- √ ------ √ --- |AB | = (5 − 2 )2 + (2 − 1)2 = 9+ 1 = 10.

To pozwala obliczyć długość wysokości trójkąta ABC opuszczonej na bok .

1 √ --- 1 0 √ --- 5 = 2-⋅ 1 0⋅h ⇒ h = √---- = 10. 1 0

Teraz będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej. Zanim to jednak zrobimy, napiszmy równanie prostej . Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA) i B = (xB,yB ) :

y − y = yB-−--yA(x − x ). A xB − xA A

W naszej sytuacji mamy

y − 1 = 2−--1(x − 2) 5− 2 1 y − 1 = -(x − 2) /⋅ 3 3 0 = x− 3y+ 1.

Wiemy, że punkt C = (x,x − 1 ) leży w odległości √ --- h = 10 od prostej . Zapiszmy ten warunek korzystając ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y 0) od prostej ax + by + c = 0 :