/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 2296141

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest okrąg o0 o równaniu 2 2 (x − 3) + (y− 1) = 1 . W pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi o1, o2 styczne zewnętrznie do okręgu o0 i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów o 1 oraz o 2 .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zauważmy, że okrąg, który jest zawarty w I ćwiartce układu i jest styczny do obu osi układu musi mieć środek A na prostej y = x oraz promień równy współrzędnym środka. Szukamy więc okręgów postaci

(x− a)2 + (y − a )2 = a2.

Pozostało teraz zapisać informację o tym, że okrąg ten ma być styczny zewnętrznie do danego okręgu o środku (3,1) i promieniu 1. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, gdy odległość ich środków jest równa sumie ich promieni. Musimy więc rozwiązać równanie

SA = 1+ a SA 2 = (1+ a)2 (a − 3)2 + (a − 1)2 = 1 + 2a + a2 2 2 2 a − 6a + 9 + a − 2a + 1 = 1 + 2a + a a 2 − 10a + 9 = 0 Δ = 100 − 3 6 = 64 10 − 8 10 + 8 a = -------= 1 ∨ a = -------= 9. 2 2

Środki okręgów o 1 i o 2 mają więc współrzędne A = (1,1 ) 1 i A = (9 ,9 ) 2 . Odległość tych punktów to

∘ ------------------- √ ----- √ -- A 1A 2 = (9 − 1)2 + (9− 1)2 = 82 ⋅2 = 8 2.

 
Odpowiedź: √ -- 8 2

Wersja PDF