/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 2538226

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | . Ponadto wiadomo, że A = (6,5) i B = (− 2,− 1) . Wierzchołek C należy do osi Oy . Oblicz współrzędne wierzchołka C .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Sposób I

Szukamy punktu C = (0,y) na podanej prostej, który spełnia równość: |AC | = |BC | .

|AC | = |BC | |AC |2 = |BC |2 2 2 2 2 (0− 6 ) + (y − 5) = (0+ 2 ) + (y + 1) 36+ y2 − 10y+ 25 = 4 + y2 + 2y + 1 56 = 12y ⇒ y = 56-= 14-. 12 3

Zatem ( 14) C = 0,-3 .

Sposób II

Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny i AB jest jego podstawą, wierzchołek C leży na symetralnej odcinka AB . Napiszmy równanie tej symetralnej. Można to zrobić na wiele sposobów, my skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x0,y0) i prostopadłej do wektora →v = [p,q] .

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 ,

W naszej sytuacji mamy → −→ v = AB = [− 8,− 6] oraz

( ) (x0,y 0) = S = 6-−-2, 5−--1- = (2,2). 2 2

Zatem symetralna odcinka AB ma równanie

− 8(x − 2 )− 6(y − 2 ) = 0 / : (− 2 ) 4x − 8+ 3y− 6 = 0 4x + 3y− 14 = 0.

Pozostało teraz znaleźć punkt wspólny tej prostej z prostą x = 0 . Podstawiamy w powyższym równaniu x = 0 .

3y − 14 = 0 ⇒ y = 14. 3

Zatem ( ) C = 0, 143 .  
Odpowiedź: ( ) C = 0, 134

Wersja PDF