/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 2716275

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Boki AB i CA trójkąta ABC są zawarte w prostych y + 12 = 7x i 2y + x = 6 , a jego dwa wierzchołki mają współrzędne B = (1,− 5) i C = (10,− 2) . Oblicz pole tego trójkąta.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

ZINFO-FIGURE

Rozpocznijmy od wyznaczenia współrzędnych wierzchołka A , czyli punktu wspólnego podanych prostych.

{ y+ 12 = 7x 2y + x = 6.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze pomnożone przez 2 (żeby skrócić y ) i mamy

x− 24 = 6 − 14x ⇒ 15x = 30 ⇒ x = 2 .

Stąd y = 7x − 12 = 14− 12 = 2 i A = (2,2 ) .

Sposób I

Aby obliczyć pole trójkąta obliczymy długość wysokości BD trójkąta ABC . Prosta BD jest prostopadła do prostej AC , czyli do prostej 1 y = − 2 x+ 3 , więc ma równanie postaci y = 2x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu B .

− 5 = 2+ b ⇒ b = − 7.

Wysokość BD ma więc równanie y = 2x − 7 . Szukamy teraz punktu wspólnego D tej wysokości i prostej AC .

{ y = 2x − 7 y = − 12 x+ 3.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić y ) i mamy

0 = 2x + 1-x− 7− 3 2 5- 10 = 2 x ⇒ x = 4.

Mamy stąd y = 2x − 7 = 1 i D = (4,1) . Liczymy teraz długość podstawy AC i wysokości BD trójkąta.

∘ ---------------------- √ -------- √ --- √ -- AC = (10− 2)2 + (− 2− 2 )2 = 64 + 16 = 8 0 = 4 5 ∘ ------------------- √ ------- √ --- √ -- BD = (4− 1)2 + (1 + 5 )2 = 9+ 36 = 45 = 3 5.

Pole trójkąta jest więc równe

1 1 √ -- √ -- PABC = --AC ⋅BD = -⋅ 4 5⋅ 3 5 = 6 ⋅5 = 30. 2 2

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA ,yA ) , B = (x ,y ) B B i C = (x ,y ) C C .

1 PABC = --|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|. 2

Mamy więc

1 1 PABC = -|(1− 2)(− 2− 2)− (− 5 − 2)(1 0− 2 )| = -|4+ 56| = 30. 2 2

 
Odpowiedź: 30

Wersja PDF