Zadanie nr 2770019

W trójkącie ABC o polu 20 dane sa współrzędne dwóch wierzchołków: A = (− 7,− 1) , B = (1,3) oraz środek S = (− 2,− 1) okręgu opisanego na tym trójkącie. Wyznacz współrzędne wierzchołka .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Zacznijmy od obliczenia rzeczy oczywistych: promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC

∘ ----------------------- √ --- r = AS = (− 2 + 7)2 + (− 1+ 1)2 = 25 = 5

i długości odcinka

∘ ------------------- √ -------- √ --- √ -- AB = (1+ 7)2 + (3+ 1)2 = 64 + 16 = 80 = 4 5.

W szczególności, okrąg opisany na trójkącie ABC ma równanie

(x + 2)2 + (y + 1)2 = 25,

a wysokość trójkąta ABC opuszczona na bok ma długość

2PABC-- 2-⋅20- 10-- √ -- h = AB = √ --= √ --= 2 5. 4 5 5

Napiszmy jeszcze równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ −1 = − 7a+ b 3 = a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 4 = 8a , czyli a = 1 2 . Stąd 5 b = 3− a = 2 i prosta ma równanie

1 5 y = -x + -- / ⋅2 2 2 2y − x − 5 = 0 .

Szukamy teraz punktu C = (x,y ) , którego odległość od prostej jest równa h = 2√ 5- i który leży na danym okręgu. Zapiszmy najpierw warunek odległości od prostej

√ -- |2y − x − 5 | |2y− x − 5| √ -- 2 5 = --√---------= ----√------- / ⋅ 5 4+ 1 5 10 = |2y − x − 5| 10 = 2y − x − 5 lub − 10 = 2y − x − 5 0 = 2y − x − 15 lub 0 = 2y − x + 5.

Otrzymane równania to równania dwóch prostych równoległych do prostych i odległych od niej o √ -- 2 5 . Pozostało wyznaczyć punkty wspólne tych prostych z danym okręgiem. Jeżeli zrobiliśmy dość dokładny rysunek, to można zauważyć, że pierwsza z nich nie przecina okręgu. Można to sprawdzić rozwiązując odpowiednie równanie, ale można też sprawdzić, że odległość środka okręgu S = (− 2,− 1) od tej prostej