/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 2974004

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest kwadrat ABCD , w którym ( 8) A = − 4,− 3 . Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu y = − 43x + 13 . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku

PIC

Przekątna AC jest zawarta w prostej prostopadłej do prostej BD , więc ma równanie postaci y = 34x + b . Ponadto przechodzi przez punkt A , więc

8- 3- 8- 1- − 3 = 4 ⋅(− 4)+ b ⇒ b = − 3 + 3 = 3.

Prosta AC ma więc równanie y = 3x+ 1 4 3 . Szukamy teraz jest punktu wspólnego S z przekątną BD .

{ y = − 4x+ 1 3 3 1 3 y = 4x + 3.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

0 = 3-x + 4x / ⋅12 4 3 0 = 9x + 1 6x = 25x ⇒ x = 0.

Stąd y = 3 x+ 1 = 1 4 3 3 i ( ) S = 0, 1 3 .

Jeżeli oznaczymy przez a długość boku kwadratu, to mamy

√ -- ∘ -----------(-------)-2 a--2- AC-- 2 1- 8- √ ------- 2 = 2 = AS = (0 + 4) + 3 + 3 = 16+ 9 = 5 a = 5⋅ √2--= √10-. 2 2

Pole kwadratu ABCD jest więc równe

2 100 a = ----= 50. 2

 
Odpowiedź: ( 1 ) S = 0,3 , PABCD = 50

Wersja PDF