/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 2989011

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Środek okręgu o równaniu 2 2 x + y − 8x = 0 i punkt P (1 ,4) należą do prostej l , która przecina okrąg w punktach A i B . Oblicz pole trójkąta ABO gdzie O to początek układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Zacznijmy od przekształcenia podanego równania okręgu

2 2 x + y − 8x = 0 x2 − 8x+ 16− 16 + y2 = 0 2 2 (x− 4) + y = 16.

Jest to więc okrąg o środku S(4,0) i promieniu 4. Możemy teraz wykonać szkicowy rysunek.

PIC

Zastanówmy się co dalej zrobić. Narzucające się dalsze rozwiązanie to wyznaczenie równania prostej P S , znalezienie punktów wspólnych A i B z okręgiem i …. No właśnie i co dalej? Mamy dwie możliwości. Możemy zauważyć, że trójkąt AOB jest trójkątem prostokątnym (kąt ∡AOB jest oparty na średnicy), a więc do policzenia pola wystarczy znać długości odcinków OA i OB .

Drugi sposób jest znacznie prostszy. Do obliczenia pola trójkąta AOB wystarczy znać długości jego podstawy AB i wysokości opuszczonej na tę podstawę. Ponieważ AB jest średnicą okręgu to znamy jej długość: wynosi 8. Z długością wysokości jest trochę trudniej – jest to odległość punktu O od prostej PS . Tak czy inaczej, jest to bardzo proste rozwiązanie, bo nie musimy wyliczać współrzędnych punktów A i B !

No to liczymy. Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB ,yB) :

(y− yA)(xB − xA ) − (yB − yA )(x− xA) = 0.

W naszej sytuacji prosta PS ma równanie

(y − 4 )(4 − 1 )− (0 − 4)(x − 1 ) 3y − 12+ 4x− 4 3y + 4x− 16 = 0.

Teraz liczymy odległość tej prostej od punktu O (0,0) . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu M = (x 0,y 0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

W naszej sytuacji

h = √-|−-16|--= 16-. 3 2 + 42 5

Zatem szukane pole wynosi

P = 1-AB ⋅h = 64-. 2 5

 
Odpowiedź: 645

Wersja PDF