Zadanie nr 3077869

Kwadrat o wierzchołkach A = (1,2),B = (4,1),C = (5,4),D = (2,5) przekształcono w jednokładności o skali ujemnej i otrzymano kwadrat o wierzchołkach K = (2,1 ),L = (8,− 1),M = (10,5),N = (4,7) . Wyznacz środek i skalę tej jednokładności.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Ustalenie skali to żaden problem: liczymy ile razy zmieniła się długość boku kwadratu.

∘ --------------------- √ --- KL-- --(8-−-2)2 +-(−-1−--1)2- --40- k = − AB = − ∘ -------2----------2 = − √ ---= − 2. (4− 1) + (1− 2) 10

Najważniejsze w tym zadaniu to poprawnie ustalić, które wierzchołki przechodzą na które. Jednokładność przeprowadza odcinek na odcinek równoległy, więc bok musi przejść na bok lub na bok . Ponieważ jednak wiemy, że skala jednokładności jest ujemna, obraz boku w jednokładności musi być wyżej niż obraz boku , więc bok musi przejść na bok . Co więcej, zwrot wektora −→ AB również ulega zmianie przy jednokładności o ujemnej skali, więc punkt musi przejść na , a punkt na punkt .

Teraz wiemy już wszystko, co jest nam potrzebne do wyznaczenia środka jednokładności.

Sposób I

Aby wyznaczyć środek jednokładności wystarczy znaleźć punkt wspólny prostych i .

Równanie prostej łatwo zgadnąć: x = 4 , a równanie prostej wyznaczamy podstawiając współrzędne punktów i do wzoru y = ax+ b .

{ 2 = a + b 5 = 10a + b.

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby zredukować ) mamy 9a = 3 , czyli a = 13 . Zatem b = 2− a = 53 . Pozostało znaleźć punkt wspólny prostych y = 1x + 5 3 3 oraz x = 4 . Podstawiamy x = 4 do pierwszego równania

4 5 9 y = 3 + 3-= 3-= 3.

Zatem S = (4 ,3) .

Sposób II

Skoro wiemy, że punkt przechodzi na punkt , to wystarczy znaleźć punkt S = (x,y) odcinka taki, że AS- = 1 SM 2 . Najłatwiej zapisać to przy pomocy wektorów.