Zadanie nr 3150459

Jak zwykle w geometrii najważniejszy jest rysunek.

Jak już mamy rysunek, należy się zastanowić jak z podanych danych odtworzyć trójkąt? No dobrze, a co dokładnie mamy dane? Mając punkty i możemy wyliczyć równanie prostej . Jak to mamy, to możemy wyliczyć spodek wysykości opuszczonej z wierzchołka (bo wiemy, że leży na prostej i jest w odległości od ). Potem będziemy mogli wyliczyć równanie prostej (bo jest prostopadła do i przechodzi przez . No i wtedy będzie już łatwo, bo szukane punkty leżą na okręgu o środku i promieniu (opisanym na trójkącie ).

Ok, mamy plan działania, to do dzieła. Najpierw równanie prostej :

Szkuamy teraz na tej prostej punktu w odległości

od punktu . Mamy zatem układ równań

Stąd łatwo wynika, że lub . Pierwszy pierwiastek odrzucamy, bo ma być na prawo od . Mamy zatem (punkt ten mogliśmy wyliczyć trochę prościej, używając równości wektorów – szczegóły zostawiamy jako ćwiczenie).

Równanie prostej jest postaci (bo jest ona prostopadła do ). Zawiera ona również punkt – stąd wyliczymy :

Pozostało teraz znaleźć punkty wspólne prostej i okręgu: .

Prowadzi to do równania

Dalej mamy , czyli

To daje

Mając dane współrzędne punktów i możemy łatwo wyliczyć długość boku trójkąta, bo odcinek stanowi jego wysokości.

Teraz łatwo napisać dwa równania, które muszą spełniać punkty i – każdy z nich musi znajdować się w odległości od punktu i odległości od punktu . Otrzymujemy zatem układ równań.

Odejmijmy teraz od drugiego równania pierwsze.

Podstawiamy teraz to wyrażenie do pierwszego równania układu.

Mamy wtedy odpowiednio i .  
Odpowiedź: oraz