/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 3174011

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Jeden z boków kwadratu ABCD jest zawarty w prostej o równaniu 2x − y − 2 = 0 . Wierzchołek A ma współrzędne (1,5) .

  • Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków.
  • Oblicz pole kwadratu ABCD .

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć wierzchołek B , napiszmy równanie prostej prostopadłej do danej prostej y = 2x − 2 i przechodzącej przez punkt A .

PIC

Prosta ta jest postaci y = − 12x + b oraz przechodzi przez A , więc

5 = − 1+ b ⇒ b = 11. 2 2

Znajdujemy punkt wspólny B obu prostych

{ 1 11 y = − 2x + 2 2x − y − 2 = 0.

Dodajemy równania stronami (żeby skrócić y )

1 11 2x − 2 = − 2x + -2- 4x − 4 = −x + 1 1 ⇒ 5x = 1 5 ⇒ x = 3.

Stąd y = 2x − 2 = 4 i B = (3,4) . Długość boku kwadratu wynosi

√ ------ √ -- AB = 4 + 1 = 5.

Aby znaleźć kolejny wierzchołek szukamy na prostej y = 2x − 2 = 0 punktów C = (x,2x − 2 ) odległych od B o √ -- 5 .

2 2 (x − 3 ) + (2x − 6 ) = 5 x 2 − 6x + 9+ 4x 2 − 24x + 36 = 5 2 5x − 3 0x+ 40 = 0 x 2 − 6x + 8 = 0.

Dalej Δ = 3 6− 3 2 = 4 , x = 2 lub x = 4 . Wtedy odpowiednio y = 2 lub y = 6 . Mamy więc dwie możliwości: C = (2,2) lub ′ C = (4,6) . Czwarty wierzchołek D = (x,y) najłatwiej wyznaczyć posługując się wektorami.

→ → → → ′ ′ AD = BC AD = BC [x − 1,y − 5] = [− 1,− 2] [x− 1,y− 5] = [1,2] (x ,y) = (0,3) (x,y) = (2,7).

W obu przypadkach pole jest równe √ --2 ( 5) = 5 .  
Odpowiedź: Wierzchołki (1,5),(3,4),(2,2),(0,3) lub (1,5),(3,4),(4 ,6),(2,7) , pole: 5

Wersja PDF