Zadanie nr 3303604

Oblicz współrzędne środka i skalę jednokładności, w której obrazem odcinka jest odcinek P 1R 1 i wiadomo, że P = (− 2,1) , R1 = (3 ,1) , −→ SP 1 = [3,9] i −→ SR = [2 ,1] .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Sposób I

Na początku nie bardzo widać o co się w tym zadaniu zaczepić, więc spróbujmy po prostu zapisać, że punkty i R 1 są obrazami i w jednokładności o środku S = (x,y) i skali . Zwróćmy uwagę, że poniższe równania są prawdziwe niezależnie od tego, czy skala jednokładności jest dodatnia (prawy obrazek), czy ujemna (lewy obrazek)

( −→ −→ { SP 1 = k ⋅SP ( −→ −→ SR 1 = k⋅SR . { [3,9] = k ⋅[−2 − x ,1− y] [3 − x,1 − y] = k ⋅[2,1]. ( | 3 = −k (x+ 2) ||{ 9 = k(1− y) || 3 − x = 2k |( 1 − y = k

Podstawiając 1− y = k z czwartego równania do drugiego mamy

2 k = 9,

czyli k = − 3 lub k = 3 . Wtedy z pierwszego równania mamy odpowiednio x = − 1 i x = − 3 . Łatwo sprawdzić, że tylko rozwiązanie (k,x) = (3,− 3) spełnia trzecie równanie. Zatem k = 3 i czwartego równania mamy y = − 2 . Stąd S = (− 3 ,− 2 ) . Na koniec dokładniejszy rysunek w układzie współrzędnych.

Sposób II

Gdy popatrzymy na schematyczny rysunek opisanej sytuacji, to widać, że podane informacje pozwalają napisać równania prostych i – pierwsza z nich to prosta przechodząca przez i równoległa do wektora S−P→ 1 , a druga to prosta przechodząca przez R 1 i równoległa do wektora −→ SR . Parametryczne równania tych prostych to odpowiednio