Zadanie nr 3333021

Okrąg o równaniu 2 2 (x + 6) + (y + 7) = 50 oraz okrąg o środku S 2 = (− 3,− 10) są wewnętrznie styczne, przy czym okrąg zawiera się w kole opisanym nierównością (x + 6)2 + (y+ 7)2 ≤ 50 . Napisz równanie wspólnej stycznej do obu okręgów.

Rozwiązanie

Okrąg to okrąg o środku S1 = (− 6,− 7) i promieniu √ --- 50 ≈ 7 . Okrąg ma środek S2 = (− 3,− 10) , zawiera się w kole oraz jest styczny wewnętrznie do . Szkicujemy tę sytuację.

ZINFO-FIGURE

Zauważmy najpierw, że punkt styczności okręgów i leży na prostej S1S2 łączącej ich środki. Napiszmy równanie tej prostej. Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów S 1 i S 2 .

{ − 7 = − 6a+ b − 10 = − 3a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ) i mamy

− 3 = 3a ⇒ a = − 1.

Stąd b = − 10 + 3a = − 13 prosta S1S 2 ma równanie y = −x − 1 3 . Szukamy teraz punktu wspólnego tej prostej oraz okręgu – podstawiamy y = −x − 13 do równania okręgu.

2 2 (x + 6) + (−x − 13 + 7) = 5 0 (x + 6)2 + (−x − 6)2 = 50 2(x + 6 )2 = 50 2 (x + 6) = 25 x + 6 = − 5 lub x+ 6 = 5 x = − 11 lub x = − 1.

Pierwsze rozwiązanie oznaczałoby, że okrąg ma większy promień niż okrąg , co byłoby sprzeczne z założeniem, że zawiera się w . Zatem x = − 1 , y = −x − 1 3 = − 12 i A = (− 1,− 12) .

Pozostało napisać równanie wspólnej stycznej do okręgów o 1 i o 2 . Jest ona prostopadła do S1S 2 i przechodzi przez punkt . Szukamy zatem prostej w postaci y = x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .